Verständnisproblem zur Formel der stochastischen Unabhängigkeit

Question

Guten Tag,

ich habe eine Frage zur Formel der stochastischen Unabhängigkeit:

Text erkannt:

\( P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) \)

Ich verstehe die Formel bis auf das umgedrehte: "U". Was bedeutet dies und was muss ich laut diesem Zeichen mit den beiden Werten A und B in der Rechnung machen?

LG

Answer 1

Das ist die Schnittmenge von A und B. Runtergebrochen bedeutet das: Du musst schauen, was A und B gemeinsam haben/vereinbaren.

Beispiel:

A={1,2,3}

B={3}

A∩B= {3}

Liebe Grüße :)

[Die Wahrscheinlichkeit habe ich aus didaktischen Gründen nicht in Betracht gesetzt]

Comments

Wenn jetzt beispielsweise A=2 und B=10 ist, was ist es dann? Ich sehe hier keine Gemeinsamkeiten

---

Richtig. Es gibt also keine Schnittmenge: A∩B={ }    (leere Menge)

---

Das heisst, wenn es keine Schnittmenge gibt, ist es stochastisch unabhängig?

Answer 2

Aloha :)

Das Symbol "\(\cap\)" kommt aus der Mengenlehre. Die Menge \(A\cap B\) enthält alle Elemente, die sowohl in der Menge \(A\) als auch in der Menge \(B\) enthalten sind. Angenommen, du hast zwei Ereignisse, dann kannst du deren möglichen Ausgänge in den Mengen \(A\) und \(B\) bündeln. Wenn du nun die Wahrscheinlichkeit \(P(A\cap B)\) bestimmen möchtest, dass beide Ereignisse zugleich eintreten, hast du zwei Möglichkeiten.

1) Zuerst tritt \(A\) ein, danach tritt \(B\) ein.$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$$Dabei ist \(P(B|A)\) die Wahrscheinlichkeit, dass \(B\) eintritt, wenn \(A\) bereits eingetreten ist.

2) Zuerst tritt \(B\) ein, danach tritt \(A\) ein:$$P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$$Dabei ist \(P(A|B)\) die Wahrscheinlichkeit, dass \(A\) eintritt, wenn \(B\) bereits eingetreten ist.

Bei statistisch unabhängigen Ereignissen ist \(P(A|B)=P(A)\) und \(P(B|A)=P(B)\). Das heißt, die Wahrscheinlichkeit für das eine Ereignis ändert sich nicht, auch wenn man weiß, dass das andere Ereignis bereits eingetreten ist. Bei unabhängigen Ereignissen gilt daher:$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$