Bestimmen Sie rechnerisch den Zustandsvektor v⃗ , für den gilt: M⋅v⃗ =v⃗

Question

Ein Prozess mit den Zuständen \( Z_{1}, Z_{2} \) und \( Z_{3} \) wird durch die stochastische Matrix \( M \)
beschrieben.
$$ M=\left(\begin{array}{ccc} 0,5 & 0 & 0 \\ 0,5 & 0,7 & 0,2 \\ 0 & 0,3 & 0,8 \end{array}\right) $$
Für diesen Prozess ist ein Zustandsvektor \( \vec{v} \) gegeben durch
$$ \bar{v}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ y \\ z \end{array}\right) ; \quad 0 \leq y \leq 1 ; \quad 0 \leq z \leq 1 $$
Es gilt weiterhin: \( \quad y+z=1 \)
Bestimmen Sie rechnerisch den Zustandsvektor \( \vec{v}, \) für den gilt: \( M \cdot \vec{v}=\vec{v} \)

Ich verstehe einfach nicht was die von mir wollen?! (Abiturvorbereitung für Mai)

Comments

Du sollst das lineare Gleichungssystem

$$M \cdot \vec{v}=\vec{v}$$

lösen.

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Sprich :

0,6a + 0b + 0c = 0
0,5a + 0,7b + 0,2c = y
0a+ 0,3b + 0,8c = z

?

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Wie kommst du auf a,b,c? Auf der linken Seite der Gleichung wird der Vektor v mit M multipliziert. Es ist v = (0,y,z). Daher müssen links y und z vorkommen.

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Hallo

 da gibt es doch kein a,b,c? a=0 b=y, c=1-y

Gruß lul

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Puuuuh, da steh ich gerade echt aufm Schlauch...

I 0,6*0 + 0y + 0*1-y = 0   -> 0=0
II 0,5*0 + 0,7y + 0,2*1-y = 0    
III 0*0+ 0,3y+ 0,8*1-y = 0

II 0,7y + 0,2*1-y = 0

III 0,3y+ 0,8*1-y = 0          / III -4*II

-2,5y = 0

O.o

Answer 1

So

[0.5, 0, 0; 0.5, 0.7, 0.2; 0, 0.3, 0.8]·[x; y; z] = [x; y; z]

0.5·x = x → x = 0
0.5·x + 0.7·y + 0.2·z = y
0.3·y + 0.8·z = z

Für x schon Null einsetzen und vereinfachen

-0.3·y + 0.2·z = 0
0.3·y - 0.2·z = 0

Diese Zeilen sind linear abhängig und damit kann eine gestrichen Werden

Nun gilt ja auch x + y + z = 1 und damit y + z = 1 und damit y = 1 - z

-0.3·(1 - z) + 0.2·z = 0 --> z = 0.6

y = 1 - 0.6 = 0.4

Damit ist der stabile Zustandsvektor [0, 0.4, 0.6]

Comments

Aaaaah!! Boah

Wie man manchmal das offensichtliche nicht sieht -.-*

Danke, ich hoffe, dass ich so einen Blackout nicht in der Klausur kriege..

Answer 2

Aloha :)

Die wollen, dass wir die Gleichung \(M\cdot\vec v=\vec v\) lösen:$$\left(\begin{array}{c}0,5 & 0 & 0\\0,5 & 0,7 & 0,2\\0 & 0,3 & 0,8\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\y\\z\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}0,5 & 0 & 0\\0,5 & 0,7 & 0,2\\0 & 0,3 & 0,8\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0\\y\\z\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}-0,5 & 0 & 0\\0,5 & -0,3 & 0,2\\0 & 0,3 & -0,2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}0\\-0,3y+0,2z\\0,3y-0,2z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)$$Wir erhalten 2 äquivalente Gleichungen:$$0,3y-0,2z=0\quad\text{bzw.}\quad-0,3y+0,2z=0$$Zusammen mit der Bedingung \(y+z=1\) heißt das:$$0=0,3y-0,2z=0,3y-0,2(1-y)=0,3y-0,2+0,2y=0,5y-0,2$$$$\Rightarrow\quad y=\frac{2}{5}\quad;\quad z=\frac{3}{5}$$