Überprüfen ob Punkte auf einer Geraden liegen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Punkte P,Q und R auf einer Geraden liegen. Welcher der drei Punkte liegt zwischen den beiden Punkten? Begründen Sie.

a) P(-4|2|-2), Q(-6|-2|2), R(-1|8|-8)

b) P(-15|12|-20), Q(9|-20|-4), R(0|-8|-10)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie ich die Aufgabe lösen soll ohne einer vorgegebenen Gerade, hoffe mir kann da jemand weiter helfen.

Danke schon mal im Voraus :D

Answer 1

ohne einer vorgegebenen Gerade

Mach eine Gerade:

        \(g: \vec x = \vec{OP} + r\cdot \vec{PQ}\).

Prüfe ob \(R\) auf dieser Geraden liegt.

Falls \(R\) auf der Geraden liegt, dann liegt

• \(R\) zwischen \(P\) und \(Q\) falls \(0 < r < 1\) ist,
• \(P\) zwischen \(R\) und \(Q\) falls \(r < 0\) ist,
• \(Q\) zwischen \(P\) und \(R\) falls \(r > 1\) ist,
  

Answer 2

Ich verstehe nicht wie ich die Aufgabe lösen soll ohne einer vorgegebenen Gerade,

Es ist Bestandteil der Aufgabe, dass du das selbst machen musst.

Stelle die Gleichung der Gerade durch P und Q auf.

Dann teste, ob R darauf liegt,

Comments

Achso, ich verstehe aber wie finde ich dann heraus welche der drei Punkte in der Mitte liegt?

Danke für die schnelle Antwort :)

---

Lies die Antwort von Oswald.

Answer 3

Man braucht nicht unbedingt eine Gerade aufstellen

a) P(-4|2|-2), Q(-6|-2|2), R(-1|8|-8)

Stelle die Richtungsvektoren auf

PQ = Q - P = [-2, -4, 4]

PR = R - P = [3, 6, -6] = -3/2 * PQ → P liegt hier also zwischen Q und R

b) P(-15|12|-20), Q(9|-20|-4), R(0|-8|-10)

PQ = [24, -32, 16]

PR = [15, -20, 10] = 5/8 * PQ → R liegt zwischen P und Q

Comments

P liegt hier also zwischen Q und R

folgt auch einfach daraus, dass von den drei y-Werten der von Q (nämlich -2) am kleinsten und der von R (nämlich 8) am größten ist.