Wie viele Berührungspunkte gibt es?

Question

Aufgabe:

Elena baut eine Pyramide aus gleich großen Holzkugeln. Die einzelnen Schichten
bestehen aus 4×4, 3×3 und 2×2 Kugeln, die jeweils quadratisch angeordnet
sind. Ganz oben liegt eine einzige Kugel. Einige der Kugeln berühren einander.
Wie viele Berührungspunkte haben die 30 Kugeln insgesamt?

Verstehe die Aufgabe nicht ganz. Würde mich über Hilfe freuen. Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Zuerst die obersten 5 Kugeln:

In der 2×2-Schicht gibt es 4 Berührpunkte. Zu einzelnen oberen Kugel hat jede aus der 2×2-Schicht noch einen Berührpunkt. Das sind allein 4+4=8 Berührpunkte für die obersten 5 Kugeln allein.

Wenn du weitermachen willst, musst du dir die 3×3-Schcht so aufzeichnen:

und die Berührpunkte zählen. Dann die 2×2-Schicht darauf legen und die weiteren Berührpunkte zählen

Entsprechend mit der 4×4-Schicht.

Comments

Und was ist jetzt die Lösung ich komme da nähmlich nicht drauf:(

Answer 2

Eine Schicht mit n Kugeln hat 2·n^2 - 2·n Berührpunkte

1. Schicht - 1

2. Schicht - 4

3. Schicht - 12

4. Schicht - 24

Nun berührt aber noch jede Kugel aus einer höheren Schicht 4 Kugeln der darunterliegenden Schicht

1. Schicht - 4

2. Schicht - 16

3. Schicht - 36

Das wären bei mir 96 Berührpunkte.

Eine Pyramide mit n Schichten hat dann also 2·n^3 - 2·n^2 Berührpunkte.