Question

Beweise mit Vollständiger Induktion, dass (1-1/2)(1-2/3)(1-3/4)...(1-(n-1)/n)=1/n! Für n>=2.

Wie funktioniert das mit n! ?

Für n=2

(1-(2-1)/2)=1-1/2 =1/2

Ist es 1/2=1/2! ?

Für n+1 wäre es dann: (1-((n+1)-1)/(n+1))=1/(n+1)

Wie geht es weiter?

Answer 1

Hallo

 ich kann nicht Verstehen, dass man das mit vollständiger Induktion beweisen soll, denn das einzige was man braucht ist

1-(n-1)/n=1/n und das ist Bruchrechnung

 dann steht da doch 1/(2*3*4*....n) und damit steht im Nenner nach Definition von n!  n!

natürlich  kann man auch einen Induktionsschritt machen

bis n hat man 1/n! und 1/n!*1/(n+1)=1/n!*(n+1)=1/(n+1)!

aber eine wirkliche Induktion ist das nicht.

Gruß lul

Comments

In Aufgabestellung sollte man das mit Vollständiger induktion es beweisen.

Answer 2

Was willst Du hier mit vollst. Ind.?

$$ (1-1/2)(1-2/3)(1-3/4)\cdots(1-(n-1)/n) = (1/2)(1/3)(1/4)(1/5)\cdots(1/n) =1/n! $$

Und mit vollst. Induktion (wenn es unbedingt sein muss):

\( \bullet \quad n = 2 \):

\( \begin{aligned} 1-{2-1 \over 2} &= {1\over 2!} \cr       {1\over2} &= {1\over2}      \quad \checkmark \cr \end{aligned} \)

\( \bullet \quad n \to n+1 \):

\( \begin{aligned}                             \prod_{k=2}^{n+1} \left(1-{k-1 \over k}\right) &= {1\over (n+1)!} \cr {\prod_{k=2}^{n} \left(1-{k-1 \over k}\right)}*\left(1-{(n+1)-1 \over n+1}\right) &= {1\over (n+1)!} \cr                            {{1\over n!}}*\left({1\over n+1}\right) &= {1\over (n+1)!} \quad \checkmark \cr \end{aligned} \)

Du kannst hier sogar mit \( k=1 \) beginnen, was für Fakultäten auch sinnvoller ist.

Comments

Steht halt in Aufgabestellung dass man es mit vollständiger induktion machen soll.

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Das hatte ich ja geschrieben, obwohl es sinnlos ist.

poste doch lieber die genaue Aufgabe.