Wie wähle ich ein geeignetes "f(x)=z" bei Integration durch Substitution? ∫x * e ^{x^2} dx und ∫(4t^3)/(t^4+1) dt

Question

Wie wähle ich ein geeignetes Z für die Substitution? 

∫x * e ^{x^2} dx

 

Answer 1

  a.)

  z = x^2
  z ´ = 2*x = dz / dx  => dx = dz / (2*x)

  ∫ x * ehoch ( x^2 ) * dx  l substituieren
  ∫ x * e^z * dz / (2*x)
  ∫ e^z / 2 * dz
  1/2 * ∫ e^z * dz
  1 /2 * ( e^z )  l rücksubstituieren
  1/2 * ehoch ( x^2 )

  b.) reichlich unleserlich. Ich nehme einmal an ( weil es so schön passt )

  ∫ ( 4 * t^3 ) / ( t ^4 + 1) * dt
  ln (  t^4 + 1)

  Steht im Zähler die 1.Ableitung des Nenners,  so ist das Integral der
" ln " des Nenners.

  c:) nicht zu lesen

  mfg Georg

Answer 2

hi! ^^ :-)

a)
substituiere u = x²

$$ u = x^2 \\ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2x\\ \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}u}{2x}\\ \int x \ e^{x^2} \mathrm{d}x = \int x \ e^u \frac{\mathrm{d}u}{2x} =  \int  \frac{ e^u}{2}\mathrm{d}u = \frac{1}{2} \int e^u\mathrm{d}u = \frac{e^u}{2} + C = \frac{e^{x^2}}{2} + C \\ $$


b)

substituiere u = t⁴+1

$$ u = t^4+1 \\ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = 4t^3 \\ \mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}u}{ 4t^3}  \\ \int \frac{4t^3}{t^4+1}\mathrm{d}t = \int \frac{4t^3}{u} \frac{\mathrm{d}u}{ 4t^3} = \int  \frac{\mathrm{d}u}{u} = \ln u + C = \ln (t^4+1) + C $$

gruß

gorgar

Comments

danke erstmal,


Ist es egal was ich für "u" wähle?
Da habe ich noch Schwierigkeiten zu bestimmen was "u" sein soll!

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nein, egal ist das nicht. oben klappt das nur, weil sich nach der substitution die variable x durch ersetzen von dx rauskürzt. für bestimmte integraltypen gibt es geeignete substitutionen.

http://books.google.de/books?id=C5-G4DsVXJUC&pg=PA151&lpg=PA151&dq=integralsubstitution+tabelle+papula&source=bl&ots=Kynz371ht8&sig=7sJa6yxUFPsI4EwpporUrpC-B7M&hl=de&sa=X&ei=A-iiUv2NAoHatAb9-YCYCA&ved=0CDYQ6AEwAQ#v=onepage&q=integralsubstitution%20tabelle%20papula&f=false

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also muss das Ziel sein die variable X rauszukürzen

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nein, das ziel der substitution ist, das integral in einfache integrale oder
in bekannte stammintegrale umzuformen, die sich einfach integrieren lassen.
die variable muss sich dabei nicht in jeden fall rauskürzen lassen. bei manchen integralen kürzt sich die variable nicht raus und trotzdem lassen sie sich nach der substitution einfach integrieren.