Aloha :)
Eine Polynomfunktion 4-ten Grades sieht so aus:$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$Ihre Ableitungen sind:$$f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$$$$f''(x)=12ax^2+6bx+2c$$$$f'''(x)=24ax+6b$$Wir wissen aus dem Aufgabentext, dass an der Stelle \(x=0\) eine Wendestelle vorliegt, d.h.$$0=f''(0)=12a\cdot0^2+6b\cdot0+2c=2c\quad\Rightarrow\quad \underline{c=0}$$Weiter wissen wir, dass die Wendetangente \(y=1=0\cdot x+1\) ist. Das heißt, die Steigung der Wendetangente ist \(=0\), also muss die erste Ableitung \(f'(x)\) an der Stelle \(x=0\) ebenfalls \(=0\) sein:$$0=f'(0)=4a\cdot0^3+3b\cdot0^2+2c\cdot0+d=d\quad\Rightarrow\quad\underline{d=0}$$Aus der Wendetangente \(y=1\) wissen wir auch noch, dass der Funktionswert \(f(0)\) am Wendepunkt \(=1\) sein muss:$$1=f(0)=a\cdot0^4+b\cdot0^3+c\cdot0^2+d\cdot0+e=e\quad\Rightarrow\quad\underline{e=1}$$Schließlich wissen wir noch, dass der Punkt \((2|-7)\) ein Tiefpunkt ist, das heißt:$$\;\;\;0=f'(2)=4a\cdot2^3+3b\cdot2^2=32a+12b\quad\;\;\;\;\quad\Rightarrow\quad8a+3b=0$$$$-7=f(2)\;\;=a\cdot2^4+b\cdot2^3+1=16a+8b+1\quad\Rightarrow\quad2a+b=-1$$Wir erhalten ein Gleichungssystem mit den Lösungen \(\underline{a=1,5}\) und \(\underline{b=-4}\). Die gesuchte Funktion lautet daher:$$f(x)=\frac{3}{2}x^4-4x^3+1$$
~plot~ 3/2*x^4-4x^3+1 ; {2|-7} ; {0|1} ; [[-2|4|-7,5|10]] ~plot~
