Doppelte Partielle Integration

Question

Aufgabe:

hab folgende Aufgabe

Soll zur Folgenden Funktion die Stammfunktion bilden

f(x)= -2x² * e^2x

Problem/Ansatz:

∫-2x²  * e^2x dx =[-2x²  * 0.5e^2x ]-∫-4x*0.5e^2x   u= -2x²    v'=e^2x

∫-4x*e^2x  dx= [-4x* 0.25e^2x ]-∫4*0.25e^2x    =[-2x*0.5e^2x ]-([-4x*0.25e^2x]-[-4*0.25e^2x])= e^2x (-x² +x-1)

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

Aloha :)

Um hier stupide Rechenarbeit zu sparen, würde ich mir überlegen, wie das Integral von$$f(x)=g(x)\cdot e^{2x}$$lautet. Mit partieller Integration geht das recht schnell:$$\int \underbrace{g(x)}_{=u}\cdot \underbrace{e^{2x}}_{v'}dx= \underbrace{g(x)}_{=u}\cdot \underbrace{\frac{1}{2}e^{2x}}_{v}-\int \underbrace{g'(x)}_{u'}\underbrace{\frac{1}{2}e^{2x}}_{v}dx=\frac{1}{2}g(x)e^{2x}-\frac{1}{2}\int g'(x)e^{2x}dx$$Im ersten Schritt ist hier nun \(g(x)=-2x^2\), also:

$$\int\left(-2x^2\,e^{2x}\right)dx=\frac{1}{2}(-2x^2)e^{2x}-\frac{1}{2}\int(-4x)e^{2x}dx=-x^2e^{2x}+2\int xe^{2x}dx$$Im nächsten Schritt ist \(g(x)=x\):$$\int xe^{2x}dx=\frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{1}{2}\int1\cdot e^{2x}dx=\frac{x}{2}e^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}+\text{const}$$Zusammengebaut also:$$\int\left(-2x^2\,e^{2x}\right)dx=-x^2e^{2x}+2\left(\frac{x}{2}e^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}\right)=-x^2e^{2x}+xe^{2x}-\frac{1}{2}e^{2x}$$$$\phantom{\int\left(-2x^2\,e^{2x}\right)dx}=-\frac{1}{2}e^{2x}\left(2x^2-2x+1\right)+\text{const}$$

Comments

Vielen Dank,für die detaillierte Antwort! Müsste ich mir gleich nochmal etwas genauer anschauen um es richtig nachvollziehen zu können. Bzw. könntest du mir eventuell sagen was an meiner Rechnung falsch war, da ich sehe das nur die -1 am Ende falsch war.

Mit freundlichen Grüßen

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Der erst Teil ist völlig ok.

∫-2x²  * e^2x dx =[-2x²  * 0.5e^2x ]-∫-4x*0.5e^2x  u= -2x²    v'=e^2x

Jetzt hast du aber mit dem falschen Integral weiter gerechnet, denn:

∫-4x*0.5e^2x=∫-2x*e^2x

Du rechnest jedoch weiter mit:

∫-4x*e^2x  dx= [-4x* 0.25e^2x ]-∫4*0.25e^2x    =[-2x*0.5e^2x ]-([-4x*0.25e^2x]-[-4*0.25e^2x])= e^2x (-x² +x-1)

Dabei wird dann auch das Integral von e^2x irgendwie zu 0.25e^2x anstatt zu 0.5e^2x

Du hast dich mit dem Faktor 0.5 verfummelt...

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Ah jetzt sehe ich meinen Fehler, keine Ahnung wie ich den Übersehen konnte...

Werde mir auf jeden Fall nochmal deine Methode anschauen, da sie mir doch bisschen besser gefällt, als die von mir.

Wünsche Dir, dann noch einen angenehmen Tag :). Und vielen Dank nochmal für die detaillierten Antworten.