Ich denke, dass ich aber doch noch eine Lösung zum Problem finden konnte:
Betrachte die kanonische Basis ε=(e1,...,en) vom Kn. Dann kann jedes x∈Kn als Linearkombination über ε geschrieben werden als:
x=i=1∑nαi⋅ei. Setze nun A : =(aij) und A⊤ : =(aji).
Damit folgt also:
x⊤⋅(A+A⊤)⋅x=(i=1∑nαi⋅ei⊤)⋅(A+A⊤)⋅(i=1∑nαi⋅ei)=α1⋅e1⊤⋅(A+A⊤)⋅(i=1∑nαi⋅ei)+...+αn⋅en⊤⋅(A+A⊤)⋅(i=1∑nαi⋅ei)=(α1⋅e1⊤⋅(A+A⊤)⋅α1⋅e1+...+α1⋅e1⊤⋅(A+A⊤)⋅αn⋅en)+...+(αn⋅en⊤⋅(A+A⊤)⋅α1⋅e1+...+αn⋅en⊤⋅(A+A⊤)⋅αn⋅en)=i=1∑nj=1∑nαi⋅ei⊤⋅(A+A⊤)⋅αj⋅ej=i=1∑nj=1∑nαi⋅αj⋅=0, wegen Voraussetzungei⊤⋅(A+A⊤)⋅ej=i=1∑nj=1∑nαi⋅αj⋅(aij+aji)=i=1∑nj=1∑nαi⋅αj⋅0.
Also folgt für alle i,j=1,...,n die Eigenschaft aij+aji=0=1+1 und insgesamt also A+A⊤=0.