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Aufgabe:

Sei K \mathbb{K} ein Körper mit 1+10 1+1 \neq 0 und für AKn,n A \in \mathbb{K}^{n, n} sei f : Kn,1K f: \mathbb{K}^{n, 1} \rightarrow \mathbb{K} durch f(x)=xTAx f(x)=x^{T} A x definiert. f f ist genau dann die Nullfunktion, wenn A A schiefsymmetrisch ist, also A+AT=0 A+A^{T}=0 gilt.

Problem/Ansatz:

Zunächst die Hinrichtung:

Sei f f als Nullfunktion bekannt, d.h. für alle xKnx\in \mathbb{K}^n folgt f(x)=xAx=0K f(x)=x^{\top} \cdot A \cdot x=0 \in \mathbb{K} . Dann gilt auch 0=(xAx)=(Ax)x=xAx 0=\left(x^{\top} \cdot A \cdot x\right)^{\top}=(A \cdot x)^{\top} \cdot x=x^{\top} \cdot A^{\top} \cdot x für alle xKn x \in \mathbb{K}^n ,also 0=xAx+xAx=x(A+A)x.0=x^{\top} \cdot A \cdot x+x^{\top} \cdot A^{\top} \cdot x=x^{\top} \cdot(A+A^{\top}) \cdot x.

Ab hier komme ich nicht weiter. Ich bin hier noch nicht überzeugt davon ,bzw. ich sehe nicht, warum A+AT=0 gelten sollte.

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zum Beispiel für n=2 hättest du ja für alle x

(x1x2)(abcd)(x1x2)=0\begin{pmatrix} x1 & x2 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \end{pmatrix}=0

Und wenn du nun x1=1 und x2=0 wählst, gibt das

(ab)(10)=0\begin{pmatrix} a & b\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}*=0

<=> a=0 Entsprechend mit x1=0 und x2=1 gibt es d=0

Dann wähle x1=1 und x2=1 gibt

(a+bc+d)(11)=0\begin{pmatrix} a+b & c+d\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix}*=0

Wegen a=d=0 also    b+c = 0

Entsprechend mit x1=1 und x2=-1 auch b-c=0

zusammen also b+b= 0 <=> b*(1+1)=0

und weil 1+1 nicht 0 ist  also b =0 .

mit  x1=-1 und x2=1  auch c=0 .

Das jetzt verallgemeinern auf n Komponenten.

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Entsprechend mit x1=1 und x2=-1 auch b-c=0

Das kann nicht sein. Wenn ich x1=1 und x2=-1 wähle, dann komme ich auf folgendes:

(11)(abcd)(11)=(11)(abcd)=abc+d \begin{pmatrix} 1 & -1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} a-b \\ c-d \end{pmatrix}\\=a-b-c+d

Und mit a=d=0 hat man -b-c=0 bzw. wieder b+c=0

Ich denke, dass ich aber doch noch eine Lösung zum Problem finden konnte:

Betrachte die kanonische Basis ε=(e1,...,en) \varepsilon=(e_1,...,e_n) vom Kn\mathbb{K^n} . Dann kann jedes xKnx\in \mathbb{K^n} als Linearkombination über ε\varepsilon geschrieben werden als:

x=i=1nαieix=\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i\cdot e_i. Setze nun A : =(aij)A:=(a_{ij}) und A : =(aji)A^{\top}:=(a_{ji}).

Damit folgt also:

x(A+A)x=(i=1nαiei)(A+A)(i=1nαiei)=α1e1(A+A)(i=1nαiei)+...+αnen(A+A)(i=1nαiei)=(α1e1(A+A)α1e1+...+α1e1(A+A)αnen)+...+(αnen(A+A)α1e1+...+αnen(A+A)αnen)=i=1nj=1nαiei(A+A)αjej=i=1nj=1nαiαjei(A+A)ej=0, wegen Voraussetzung=i=1nj=1nαiαj(aij+aji)=i=1nj=1nαiαj0.x^{\top}\cdot (A+A^{\top})\cdot x=\Bigg(\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i\cdot e_i^{\top}\Bigg)\cdot (A+A^{\top})\cdot \Bigg(\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i\cdot e_i\Bigg)\\=\alpha_1\cdot e_1^{\top}\cdot (A+A^{\top})\cdot \Bigg(\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i\cdot e_i\Bigg)+...\\+\alpha_n\cdot e_n^{\top}\cdot (A+A^{\top})\cdot \Bigg(\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i\cdot e_i\Bigg)\\=\Bigg(\alpha_1\cdot e_1^{\top}\cdot (A+A^{\top})\cdot \alpha_1\cdot e_1+...+\alpha_1\cdot e_1^{\top}\cdot (A+A^{\top})\cdot \alpha_n\cdot e_n\Bigg)+...\\+\Bigg(\alpha_n\cdot e_n^{\top}\cdot (A+A^{\top})\cdot \alpha_1\cdot e_1+...+\alpha_n\cdot e_n^{\top}\cdot (A+A^{\top})\cdot \alpha_n\cdot e_n\Bigg)\\=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n \alpha_i\cdot e_i^{\top}\cdot (A+A^{\top})\cdot \alpha_j\cdot e_j=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n \alpha_i\cdot \alpha_j\cdot \underbrace{e_i^{\top}\cdot (A+A^{\top})\cdot e_j}_{=0, \text{ wegen Voraussetzung}}\\=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n \alpha_i\cdot \alpha_j\cdot (a_{ij}+a_{ji})=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n \alpha_i\cdot \alpha_j\cdot 0.

Also folgt für alle i,j=1,...,ni,j=1,...,n die Eigenschaft aij+aji=01+1a_{ij}+a_{ji}=0\neq 1+1 und insgesamt also A+A=0A+A^{\top}=0.

Gratulation !

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