Schiefsymmetrische Matrix und Nullabbildung

Question

Aufgabe:

Sei \( \mathbb{K} \) ein Körper mit \( 1+1 \neq 0 \) und für \( A \in \mathbb{K}^{n, n} \) sei \( f: \mathbb{K}^{n, 1} \rightarrow \mathbb{K} \) durch \( f(x)=x^{T} A x \) definiert. \( f \) ist genau dann die Nullfunktion, wenn \( A \) schiefsymmetrisch ist, also \( A+A^{T}=0 \) gilt.

Problem/Ansatz:

Zunächst die Hinrichtung:

Sei \( f \) als Nullfunktion bekannt, d.h. für alle \(x\in \mathbb{K}^n \) folgt \( f(x)=x^{\top} \cdot A \cdot x=0 \in \mathbb{K} \). Dann gilt auch \( 0=\left(x^{\top} \cdot A \cdot x\right)^{\top}=(A \cdot x)^{\top} \cdot x=x^{\top} \cdot A^{\top} \cdot x \) für alle \( x \in \mathbb{K}^n \),also \(0=x^{\top} \cdot A \cdot x+x^{\top} \cdot A^{\top} \cdot x=x^{\top} \cdot(A+A^{\top}) \cdot x. \)

Ab hier komme ich nicht weiter. Ich bin hier noch nicht überzeugt davon ,bzw. ich sehe nicht, warum A+A^T=0 gelten sollte.

Answer 1

zum Beispiel für n=2 hättest du ja für alle x

$$\begin{pmatrix} x1 & x2 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x1 \\ x2  \end{pmatrix}=0$$

Und wenn du nun x1=1 und x2=0 wählst, gibt das

$$\begin{pmatrix} a & b\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}*=0$$

<=> a=0 Entsprechend mit x1=0 und x2=1 gibt es d=0

Dann wähle x1=1 und x2=1 gibt

$$\begin{pmatrix} a+b & c+d\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix}*=0$$

Wegen a=d=0 also    b+c = 0

Entsprechend mit x1=1 und x2=-1 auch b-c=0

zusammen also b+b= 0 <=> b*(1+1)=0

und weil 1+1 nicht 0 ist  also b =0 .

mit  x1=-1 und x2=1  auch c=0 .

Das jetzt verallgemeinern auf n Komponenten.

Comments

Entsprechend mit x1=1 und x2=-1 auch b-c=0

Das kann nicht sein. Wenn ich x1=1 und x2=-1 wähle, dann komme ich auf folgendes:

$$ \begin{pmatrix} 1 & -1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ -1  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} a-b \\ c-d \end{pmatrix}\\=a-b-c+d$$

Und mit a=d=0 hat man -b-c=0 bzw. wieder b+c=0

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Ich denke, dass ich aber doch noch eine Lösung zum Problem finden konnte:

Betrachte die kanonische Basis \( \varepsilon=(e_1,...,e_n) \) vom \(\mathbb{K^n} \). Dann kann jedes \(x\in \mathbb{K^n}\) als Linearkombination über \(\varepsilon \) geschrieben werden als:

\(x=\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i\cdot e_i\). Setze nun \(A:=(a_{ij})\) und \(A^{\top}:=(a_{ji})\).

Damit folgt also:

\(x^{\top}\cdot (A+A^{\top})\cdot x=\Bigg(\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i\cdot e_i^{\top}\Bigg)\cdot (A+A^{\top})\cdot \Bigg(\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i\cdot e_i\Bigg)\\=\alpha_1\cdot e_1^{\top}\cdot (A+A^{\top})\cdot \Bigg(\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i\cdot e_i\Bigg)+...\\+\alpha_n\cdot e_n^{\top}\cdot (A+A^{\top})\cdot \Bigg(\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i\cdot e_i\Bigg)\\=\Bigg(\alpha_1\cdot e_1^{\top}\cdot (A+A^{\top})\cdot \alpha_1\cdot e_1+...+\alpha_1\cdot e_1^{\top}\cdot (A+A^{\top})\cdot \alpha_n\cdot e_n\Bigg)+...\\+\Bigg(\alpha_n\cdot e_n^{\top}\cdot (A+A^{\top})\cdot \alpha_1\cdot e_1+...+\alpha_n\cdot e_n^{\top}\cdot (A+A^{\top})\cdot \alpha_n\cdot e_n\Bigg)\\=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n  \alpha_i\cdot e_i^{\top}\cdot (A+A^{\top})\cdot \alpha_j\cdot e_j=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n  \alpha_i\cdot \alpha_j\cdot \underbrace{e_i^{\top}\cdot (A+A^{\top})\cdot e_j}_{=0, \text{ wegen Voraussetzung}}\\=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n  \alpha_i\cdot \alpha_j\cdot (a_{ij}+a_{ji})=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n  \alpha_i\cdot \alpha_j\cdot 0.\)

Also folgt für alle \(i,j=1,...,n\) die Eigenschaft \(a_{ij}+a_{ji}=0\neq 1+1\) und insgesamt also \(A+A^{\top}=0\).

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Gratulation !