schiefsymmetrische matrizen

Question

Bitte um hilfe.... Dringend :S

Aufgabe 20
Wir befassen uns in dieser Aufgabe mit schief-symmetrischen Matrizen. Aus der Vorlesung ist bekannt, dass eine quadratische Matrix schief-symmetrisch ist, wenn gilt \( A^{T}=-A . \) Die folgende Matrix \( S \) ist ein Beispiel für eine schief-symmetrische \( (3 \times 3)- \) Matrix:
$$ S=\left[\begin{array}{rrr} {0} & {3} & {1} \\ {-3} & {0} & {-6} \\ {-1} & {6} & {0} \end{array}\right] $$
(a) Weisen Sie nach, dass die Menge aller schief-symmetrischen \( \left.(3 \times 3) \text { - Matrizen (kurz: } \mathrm{SSym_{3 \times 3}}(\mathbb{R})\right) \) ein Untervektorraum der Menge aller \( (3 \times 3)- \) Matrizen Mat \( _{3 \times 3}(\mathbb{R}) \) ist.

(b) Geben Sie eine Basis für SSym \( _{3 \times 3}(\mathbb{R}) \) an und bestimmen Sie die Dimension.

(c) Verwenden Sie Ihre Einsichten aus Teil (b) und geben eine Basis für \( \mathrm{SSym_{n \times n}}(\mathbb{R})\)an und } bestimmen dafür die Dimension.

(d) Zeigen Sie: Das lineare Gleichungsystem \( A x=0, \) bei dem \( A \) eine von der Nullmatrix verschiedene schief-symmetrische \( (3 \times 3)- \) Matrix ist, besitzt eine nicht-triviale Lösung. 

Answer 1

Hi,
zu (a)
Seien \( A \) und \( B \) schiefsymmetrisch dann gilt \( (A+B)^T=A^T+B^T=-A-B=-(A+B) \) und \( ( \lambda A)^T=\lambda A^T=-\lambda A \), also bilden die schiefsymmetrischen Matrizen einen Untervektorraum.

zu (b)
Jede schiefsymmetrische Matrix der Dimension 3 x 3 lässt sich schreiben als
$$  \begin{pmatrix}  0 & a & b\\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}  0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}  0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}  0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}  $$
mit eindeutig bestimmten \( a, b ,c \in \mathbb{R}\) und bilden damit eine Basis der Dimension 3

Zu (c)
Eine schiefsymmetrische Matrix enthält auf der Diagonalen lauter Nullen und der untere Teil der Matrix ist durch den oberen Teil (oberhalb der Diagonalenn) vollständig bestimmt. Also kann man \( \frac{n(n-1)}{2} \) Werte unabhängig wählen. Damit ist die Dimension dieses UV \( \frac{n(n-1)}{2} \)

zu (d)
Es gilt \( det(A)=det(-A^T)=(-1)^3det(A^T)=-det(A)  \) also gilt \( det(A)=0 \) und damit gilt \( rang(A)<3 \) und das Gleichungssystem \( Ax=0 \) besitzt nichttriviale Lösungen. Hier wird aber ausgenutzt das \( n=3 \) ungerade ist. Für \( n \) gerade geht das nicht so.

Answer 2

a)  sind R und S schiefsymmetrisch, dann gilt S^T = -S  und R^T = -R
dann auch  (S+R)^T = S^T + R^T  =  -S + (-R) = - (S+R)
und für alle a aus IR    (aS)^T = ...............  = -(aS)
also Vektorraum

b) die sehen alle so aus        0  -a  -b
                                              a   0   -c
                                              b   c    0

In der Diagonale ist ja -x = x, also eine Null.

0  -a  -b                   0 -1 0
         a  0   -c     =    a *     1 0 0       +  b * ...                  + c *  ...
         b   c    0                   0  0  0
und die drei Matrizen rechts kann man leicht als lin. un. nachweisen,
also   dim=3 und Basis sind eben diese drei.

übertragen auf n gibt   (n^2 - n) / 2  und die Basismatrizen sind
analog zum Fall 3 immer mit einer 1 und einer -1 "gegenüber" und sonst Nullen.

d) einfachstes Argument:  Determinante ist Null.