a) das charakteristische Polynom ist einfach
$$ \det(xE_4-A) = \begin{vmatrix} x&0&-1&1\\0&x&0&0\\1&0&x&-t\\-1&0&t&x\end{vmatrix} = x\begin{vmatrix} x&-1&1\\1&x&-t\\-1&t&x\end{vmatrix} = x(x^3-t+t+x+t^2x+x)=x^2(x^2+t^2+2)$$
1. Laplace Entwicklung zweite Zeile/Spalte
2. Regel von Sarrus.
Jetzt die Nullstellen vom charakteristischen Polynom bestimmen:
$$ x_1 = 0, x_2=0, x_3 = \sqrt{-t^2-2}, x_4=-\sqrt{-t^2-2}$$
Der dritte und vierte EW sind komplex! Wir haben drei verschiedene Eigenwerte:
$$\lambda_1 = 0,\lambda_2 = \sqrt{-t^2-2}, \lambda_3=-\sqrt{-t^2-2}$$
Die algebraische Vielfachheit \( \mu_i\) kann jetzt einfach abgelesen werden:
$$ \mu_1 = 2, \mu_2 = 1, \mu_3 = 1$$
Für die geometrische Vielfachheit \( g_i\) gilt:
$$ 1\le g_i \le \mu_i$$
Beim zweiten und dritten Eigenwert ist nichts mehr zu tun:
$$ g_2=1, g_3=1$$
Um \( g_1 \) zu bestimmen müssen wir den Eigenraum zu \( \lambda_1\) berechnen:
$$ E(\lambda_1) = Lös(\lambda_1E_4-A_t,0) = Lin\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}t\\0\\1\\1\end{pmatrix}\right)$$
Dimension ist für alle t gleich 2 also
$$g_1 =2$$
