Parametrisierung einer Fläche

Question

Aufgabe:

Parametrisieren Sie die Fläche, die entsteht, wenn der Graph von \( f: [0,1] \to \mathbb R, f(x) = e^x \) um die x-Achse rotiert.

Problem:

Ich kenne die Lösung, weiß aber leider überhaupt nicht, wie diese zustandekommt, wie man sie sich herleiten kann :( Kann mir jemand das Löungsverfahren erläutern?

Answer 1

Aloha :)

Halte den \(x\)-Wert fest. Dann ist der Funktionswert \(f(x)\) gleich dem Radius des Kreises, der sich bei der Rotation um die \(x\)-Achse ergibt. Dieser Kreis liegt in der \(yz\)-Ebene. Daher kann man die Fläche durch folgenden Vektor abtasten:$$\vec r(x,\varphi)=\left(\begin{array}{c}x\\f(x)\cdot\cos\varphi\\ f(x)\cdot\sin\varphi\end{array}\right)\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$In dem konkreten Fall hier:$$\vec r(x,\varphi)=\left(\begin{array}{c}x\\e^x\cdot\cos\varphi\\ e^x\cdot\sin\varphi\end{array}\right)\quad;\quad x\in[0;1]\;\;;\;\;\varphi\in[0;2\pi]$$Wie es sich für eine 2-dimensionale Fläche gehört, hängt die Parametrisierung von 2 Variablen \((x,\varphi)\) ab.

Comments

Vielen lieben Dank !!!!!!!! <3333 Darf ich fragen, wie du gelernt hast, Flächen und Kurven  zu parametrisieren? Kennst du gute Bücher oder Internetseiten, die du mir empfehlen kannst? Oder ist das etwas, das man implizit, quasi nebenbei lernt?

---

Die Parametrisierung von Flächen benötigt man in der Mathematik in der Regel in Verbindung mit Flächen- und Volumenintegralen. Da wird das Thema aber eher nebenbei behandelt, die Parametrisierungen fallen oft "vom Himmel".

Du musst im Hinterkopf haben, dass du dir einen Vektor \(\vec r\) bauen möchtest, der die Fläche abtastet. Eine Fläche hat 2 Dimensionen also benötigt man genau 2 voneinander unabhängige Variablen, für jede Dimension eine. Diese Variablen musst du finden. In der Aufgabe waren das der \(x\)-Wert und der Winkel \(\varphi\) zur Abtastung des Kreisbogens.

Hast du diese erste Hürde genommen, musst du alle benötigten Werte durch diese beiden Variablen darstellen. Das ist die zweite Hürde. Hierzu sind oft zusätzliche Kenntnisse nötig. In der Aufgabe musste man z.B. wissen, wie man einen Kreis mit Radius und Bogenwinkel parametrisiert.

Parametrisierungen sind kein einfaches Thema. Daher werden in Übungs- und besonders in Klausuraufgaben oft sehr einfache geometrische Objekte nachgefragt. Du fährst ziemlich sicher, wenn du weißt, wie du folgende Objekte parametrisierst:

Kreis, Kugel, Zylinder (bzw. Kegel)

Stichworte: Polar-Koordinaten, Kugel-Koordinaten und Zylinder-Koordinaten.

---

VIELEN DANK !!!!! :*