Monotonie von Folgen

Question

Aufgabe:

xn =  \( \frac{5n-3}{3n-5} \)

Untersuchen Sie die Zahlenfolge auf Monotonie. Geben Sie dabei das kleinste
n0 an, ab dem die Monotonieeigenschaft gilt.

Problem/Ansatz:

Den ersten Teil der Aufgabe hab Ich gelöst mit: xn+1 - xn = \( \frac{5(n+1)-3}{3(n+1)-5} \)- \( \frac{5n-3}{3n-5} \)= \( \frac{-16}{(3n+2)(3n-5)} \)

und \( \frac{-16}{(3n+2)(3n-5)} \)  < 0 damit streng monoton fallend

Wie aber finde Ich das kleinste n heraus, für das die fallende Monotonie der Folge gilt?

Comments

<0 gilt nicht für n=1.

Answer 1

(5·(n + 1) - 3)/(3·(n + 1) - 5) - (5·n - 3)/(3·n - 5) = - 6/((3·n - 2)·(3·n - 5)) < 0

6/((3·n - 2)·(3·n - 5)) > 0

(3·n - 2)·(3·n - 5) > 0 --> n < 2/3 = 0.6667 ∨ n > 5/3 = 1.6667

Also ab n = 2 oder nicht

Du kannst zur Kontrolle auch eine Wertetabelle machen.

Answer 2

Stell dir vor, es ginge um den Funktionsterm \( \frac{5x-3}{3x-5} \). Dieser ist an der Stelle x=5/3 nicht definiert.  Links davon liegt x=1 und rechts davon liegt x=2. Rechts der Nullstelle des Nenners, also ab x=2 ist die Folge monoton fallend.