Tangentengleichung auftellen

Question

(1) Consider the function \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) \( f(x)=\cos x+x^{2} \)
(a) Can there be two points on the graph of \( f, \) at which the tangent line
to the graph is parallel to the line with equation \( 6 x+2 y+3=0 ? \)
(b) Can there be one such point? Is there such a point?

 Übersetzung: "a) Kann es zwei Punkte im Graphen f (x) geben, an denen die Tangentenlinie zum Graphen parallel zur Linie mit der Gleichung 6x + 2y + 3 = 0 ist? b) Kann es einen solchen Punkt geben? Gibt es so einen Punkt?"

Also ich hab damit angefangen die Gleichung in eine Funktion umzuformen. Für 6x + 2y + 3 = 0 habe ich f(x)=3x+1,5 mit x=2 und y=7,5. Ich steh hier leider auf der leitung. Mein Ansatz wäre die Steigung zu berechnen (da bin ich auf k=4,5(steigung) gekommen). Is das richtig so und wie geht es weiter?

Answer 1

Für 6x + 2y + 3 = 0 habe ich f(x)=3x+1,5 mit x=2 und y=7,5. Ich steh hier leider auf der leitung. Mein Ansatz wäre die Steigung zu berechnen (da bin ich auf k=4,5(steigung) gekommen). Is das richtig so und wie geht es weiter?

So viele Fehler in nur zwei Zeilen....

Das Umstellen von 6x + 2y + 3 = 0 nach y liefert in Wirklichkeit

y=-3x-1,5.

Die Steigung davon ist KEINESFALLS 4,5 (ganz gleich, ob du die Minuszeichen verschlampt hast oder nicht).

Die Steigung wird hier durch den Faktor vor dem x angegeben.

Comments

Okay danke schön, hab es ausgebessert. Kannst du mir bei a)  helfen?

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Ich sehe nicht, dass du irgendwas ausgebessert hast.

Aber egal. Falls es Punkte mit parallelen Tangenten zu dieser Geraden gibt, müsste an den bewussten Stellen der Wert der ersten Ableitung mit dem Geradenanstieg übereinstimmen.

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Ich hab es auf papier ausgebessert...

Aber danke!

Answer 2

Falls soweit klar
f ´( x ) = 1.5
2*x - sin(x)  = 1.5
Kann gelöst werden mit Newton.
x = 1..22

eine 2.Stelle finde ich allerdings nicht.

Comments

Ist die Ableitung von -3x-1,5 nicht -3?

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Stimmt.  dann kommt
x = minus 1..22
heraus.

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Das war aber überhaupt nicht gefragt, es ging um die konkrete Anzahl möglicher Stellen.

Dass die Gleichung 2x-sin(x)=-3 nicht zwei Lösungen haben kann (und dass sie immer genau eine hat), sollte schlüssig gezeigt werden können.

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y = 2x - sin(x) ist streng monoton steigend was durch eine Ableitung sehr einfach gezeigt werden kann. 

Eine Streng monoton steigende Funktion scheidet eine horizontale Gerade höchstens an einer Stelle.

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Irgendwie hatte ich eine Zahl falsch übernommen. Die richtige Stelle der Funktion
mit der Steigung f ´ ( x ) = -3 ist
x = -1.962

@ coach
Der Fragesteller hat nicht nur die englische
Frage eingestellt sondern den Wunsch
geäußert " Tangentengleichung aufstellen ".
Daran hat er sich versucht.
Mit meiner Antwort ist das problemlos
möglich.

f ( -1.962 ) = 3.468
y = m * x + b
3.468 = -3 * -1.962 + b
b = -2.418

t ( x ) = -3 * x - 2.418

Answer 3

Aloha :)

Die Tangente an die Kurve \(f\) im Punkt \(x_0\) hat die Gleichung:$$t_{x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$$$\phantom{t_{x_0}(x)}=\cos x_0+x_0^2+(2x_0-\sin x_0)\cdot(x-x_0)$$$$\phantom{t_{x_0}(x)}=\cos x_0+x_0^2+(2x_0-\sin x_0)\cdot x-(2x_0-\sin x_0)\cdot x_0$$$$\phantom{t_{x_0}(x)}=\cos x_0-x_0^2+x_0\sin x_0+(2x_0-\sin x_0)\cdot x$$Die gegebene Geradengleichung können wir umformen:$$6x+2y+3=0\quad\Leftrightarrow\quad y=-3x-\frac{3}{2}$$Die Tangente soll parallel zu der Geraden verlaufen, also müssen die Steigungen gleich sein:$$2x_0-\sin x_0\stackrel{!}{=}-3$$Als numerische Lösung erhalten wir:$$x_0=-1,96219$$Es gibt also genau einen Punkt, der die Bedingung erfüllt.

~plot~ cos(x)+x^2 ; cos(-1,96219)-(-1,96219)^2+(-1,96219)*sin(-1,96219)+(2*(-1,96219)-sin(-1,96219))*x; -3x-1,5 ; [[-3|3|-1|5]] ~plot~

Answer 4

siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt.

Kapitel,Differentialgeometrie

Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

Normalengleichung yn=fn(x)=-1/f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

xo=Stelle,wo die Tangente/Normale liegen soll.

6*x+2*y+3=0

2*y=-6*x-3

y=-6/2*x-3/2=-3*x-1,5

f(x)=x²+cos(x)  abgeleitet f´(x)=2*x-sin(x)

Bedingung von 2 parallelen Geraden: m2=m1   mit Steigung f´(x)=m

y=m*x+b  hier m=-3=f´(xo)

eingesetzt

ft(x)=(2*xo-1*sin(xo))*(x-xo)+(xo²+cos(xo))

ft(x)=(2*xo-1*sin(xo))*x-2*xo²+xo*sin(xo)+xo²+cos(xo)

m=-3=(2*xo-1*sin(xo)

0=2*xo-1*sin(xo)

Mit meinem GTR xo=-1,962

Den Rest schaffst du selber

Prüfe auf Rechen- und Tippfehler.

Answer 5

Die Funktion f ist sicher beliebig oft stetig differenzierbar auf R.

Teil a) der Aufgabe: Der Wertebereich der ersten Ableitung ist R, weswegen der Graph von f Tangenten mit beliebigen Steigungen aufweist. 

Teil b) der Aufgabe: Der Wertebereich der zweiten Ableitung ist [1;3], weswegen der Graph von f überall linksgekrümmt ist, sodass er jeweils genau eine Tangente mit einer bestimmten Steigung aufweist.

Gerechnet werden muss dabei meines Erachtens nix.