Tangentengleichung gleichschenkliges Dreieck nachweisen

Question

Aufgabe:

Es geht um den Aufgabenteil b). Ich konnte die Tangente berechnen und bin auch T(x)=x+1 gekommen.

Wie weise ich nur das Dreieck nach?

Text erkannt:

5. Ableitung, Schnittpunkte (Mathe 1b) [5+15 Punkte] Gegeben ist die Funktion \( f(x)=2 \cdot e^{\frac{1}{2} x}-1 \) mit \( x \in \mathbb{R} \).
- Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion \( f \).
- Die Tangente an den Graphen von \( f \) im Punkt \( S(0 \mid 1) \) begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.
Hinweis: Bestimmen Sie dazu erst die Gleichung der Geraden durch den gegebenen Punkt, um im Anschluss die Schnittpunkte mit den Achsen zu berechnen. Argumentieren Sie im Anschluss in einem Satz, warum das Dreieck der Punkte \( S_{x}(-1 \mid 0), S_{y}(0 \mid 1), S(0 \mid 1) \) gleichschenkelig ist.

Answer 1

Hallo,

Argumentieren Sie im Anschluss in einem Satz, warum das Dreieck der Punkte \( S_{x}(-1 \mid 0), S_{y}(0 \mid 1), S(0 \mid 1) \) gleichschenkelig ist.
Wie weise ich nur das Dreieck nach?

wenn man die Aufgabenstellung ernst nimmt, dann ist \(\triangle S_xS_yS\) gleichschenklig, weil die beiden Seiten \(S_xS_y\) und \(S_xS\) gleich lang sein MÜSSEN, da \(S_y=S\) ist. Sie sind also nicht nur gleich lang, sondern identisch.

Ich nehme aber an, dass es sich hier schlicht um einen Druckfehler handelt und nach dem Dreieck mit den drei Punkten \(S_x\), \(S_y\) und \((0,\,0)\) gefragt werden sollte. In diesem Fall haben die beiden Katheten des rechtwinkligen Dreiecks die Länge 1 (unten im Bild schwarz markiert).

Gruß Werner

https://www.desmos.com/calculator/jvin5neuyk

Answer 2

Eine Gerade mit der Gleichung T(x)=x+1 hat den Achsenabschnitt 1 auf der y-Achse und -1 auf der x-Achse, Das Dreieck A(-1|0), B(0|0), C(0|1) ist gleichschenklig.

Comments

Eine Gerade mit dem Anstieg 1 schneidet außerdem die x-Achse unter einem Winkel von 45°, und da sich die Schnittwinkel mit x- und y-Achse zu 90° ergänzen, ist auch der Schnittwinkel mit der y-Achse 45°.

Answer 3

Gleichung der Tangente:

\(y=x+1\)    Achsenabschnittsform einer Geraden:\( \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \):

\(y=x+1|-x\) 

\(-x+y=1\)

\(\frac{x}{-1}+\frac{y}{1}=1\)

Der Achsenabschnitt ist \(a=-1\) und \(b=1\)

\(|a|=|-1|=1\)  und \(b=1\)

Somit haben beide Strecken die gleiche Länge, und das Dreieck \(S_x,O, S_y \) ist gleichschenklig.