Grenzwert vom Matrix 3 x 3

Question

Aufgabe: Bestimmen für welche Vektoren (x, y, z) ein Element R^3 der Grenzwert

Lim n zu unendlich (0,5   0   0 ^n

                                     0     1   0

                                     0     0   2)

existiert und berechnen sie diesen.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz für die Aufgabe wäre die Grenzwermatrix, Fixvektor mit der Formel M^n *v = v zu berechnen.

Nur weiß ich nicht ob das gemeint ist und wie das funktioniert wenn die Spaltensummen der Matrix nicht 1. ergibt.

Würde mich freuen wenn mir jemand weiterhelfen kann.

Answer 1

Aloha :)$$\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} & 0 & 0\\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2\end{array}\right)^n\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2^n} & 0 & 0\\0 & 1^n & 0 \\0 & 0 & 2^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2^n}x\\y\\2^nz\end{array}\right)\stackrel{(z=0)}{\to}\left(\begin{array}{c}0\\y\\0\end{array}\right)$$Man erkennt, dass für \(n\to\infty\) die 1-te und 2-te Komponente konvergieren. Die dritte Komponente \(2^nz\) konvergiert nur, wenn \(z=0\) ist.

Der Grenzwert existiert für die Eingangs-Vektoren \((x|y|0)\) und ist dann \((0|y|0)\).

Comments

Vielen dank für die schnelle Antwort und das auch noch um diese Uhrzeit. Ok ich bin wirklich am schlauch gestanden obwohl es so einfach war hatte ich keinen Ansatz. Nochmals vielen Dank. :)

Answer 2

Deine Matrix ist eine Diagonalmatrix, deswegen gilt $$ A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} \frac{1}{2^n} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^n \end{pmatrix} $$ und $$ A \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{x}{2^n} \\ y \\ 2^n z \end{pmatrix}  $$

Aber besser Du schreibst die Aufgabe mal im Orignl hin.

Comments

Vielen Dank dafür!

Aber wie kann ich da jetzt den Grenzwert berechnen oder besitzt die Diagonale Matrix keinen?

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Wie lautet die Aufgabe genau? \( \frac{1}{2^n} \to 0 \) und \( 2^n \to \infty \)

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Aloha ullim, Angel :)

Es soll ja untersucht werden, für welche Vektoren der Grenzwert existiert. Daher wollen die vermutlich hören, dass die \(z\)-Komponenten Null sein muss, also nur Vektoren \((x|y|0)\) zu einem Grenzwert führen. Der Grenzwert selbst ist dann \((0|y|0)\).

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Tja, wenn man wüste wie die Aufgabenstellung wirklich ist,  könnte das so sein.

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Ja leider habe ich nichts anderes! Nochmals danke für die Hilfe

Answer 3

Vom Duplikat:

Titel: Bestimmung vom Grenzwert eines Vektors

Stichworte: vektoren,grenzwert

Aufgabe:

Bestimmen Sie, für welche Vektoren \( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \) ∈ R3 der Grenzwert
lim n→∞\( \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \) ^n  \( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \)

existiert und berechnen Sie diesen.

Die Matrix ist hoch n falls man es nicht so gut erkennt.

Problem/Ansatz:

Ich bin total lost im Moment und habe gar keinen Ansatz.