Grenzwert vom Integral einer Funktionenfolge berechnen

Question

Hallo,

ich soll den Grenzwert \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \int\limits_{0}^{1} \) n(1-\( e^{\frac{-3x^{2}}{n}} \) ) dx berechnen.

Als Hinweis ist dazu angegeben, dass man erst |1-u-\( e^{-u} \) | ≤ \( \frac{u^{2}}{2} \) zeigen kann

Kann mir hier jemand helfen? Ich weiß hier nicht was ich tun soll und der Hinweis verwirrt mich irgendwie noch mehr.

Bin über jede Hilfe sehr dankbar.

Comments

Hallo,

der erste Punkt ist: Wir "zehen den Limes unter das Integral":

$$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 ... = \int_0^1 \lim_{n \to \infty} ..$$

Der 2. Punkt ist: Was ist

$$\lim_{n \to \infty} n(1-exp(-\frac{3x^2}{n}))$$

Dafür schlägt der Hinweis vor: Ersetze mit u=(3x^2)/n

$$\exp(-u)=1-u-(1-u-\exp(-u))$$

und für den letzten Teil in () gibt es eine Fehlerabschätzung

Gruß Mathhilf

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Vielen Dank! :)

Muss ich für den ersten Teil noch gleichmäßge Konvergenz beweisen? Ich bilde mir ein wir hatten sowas gelernt.

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Ja, dafür dient auch die angegebene Abschätzung-

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Jetzt hab ichs verstanden, tausend Dank für die Hilfe!

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Ich habe leider doch noch eine Frage, warum stellt man den Limes eigentlich unter das Integral. Wäre es nicht leichter den Grenzwert des Integrals zu berechnen? Weil die Stammfunktion aus einem Grenzwert zu rechnen finde ich ziemlich seltsam.

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Je nach Problem kann das eine einfacher sein oder das andere. Jedenfalls sollte man das Vertauschen von Integral und Grenzwert als Methode auf dem Schirm haben.

Du kannst Dir ja mal das Integral berechnen lassen und schauen, ob das einfacher wäre

Gruß Mathhilf

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Ich steh hier leider irgendwie sehr auf dem Schlauch, ich verstehe nicht wie

\(\exp(-u)=1-u-(1-u-\exp(-u))\)

entsteht wenn man u=(3x^2)/n setzt. Müsste dann nicht einfach n(1-e^(-u)) da stehen?

Answer 1

Hallo,

ich schreib es mal in eine Antwort rein. Der Integrand ist - mit u:=(3x^2)/n:

$$n(1-\exp(-u)=n \left[ 1-(1-u-(1-u-\exp(-u))\right]=nu+n(1-u-\exp(-u))$$

Der erste Summand liefert 3x^2, fertig. Der 2. lässt sich aufgrund des Hinweises abschätzen auf dem Intervall [0,1]:

$$|n(1-u-\exp(-u))|\leq n \frac{9x^4}{2n^2}\leq \frac{9}{2n}$$

also eine obere von x unabhängige Schranke, die gegen 0 geht.

Gruß mathhilf

Comments

Ich verstehe nur einfach nicht wie ich von da dann weiterrechnen soll :/

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Ok nein das habe ich jetzt, könntest du nur bitte diesen Schritt

\(n(1-\exp(-u)=n \left[ 1-(1-u-(1-u-\exp(-u))\right]=nu+n(1-u-\exp(-u))\)

genauer erläutern dann hab ichs glaube ich.

Also den vom ersten zum zweiten.

Tut mir sehr leid

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Unabhängig von allen Details ich habe A:=exp(--) ersetzt durch

$$A=1-u-(1-u-A)$$

Gruß Mathhilf

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Ahh alles klar, da war ich zu langsam für.

Jetzt hab ichs aber wirklich.

Vielen Dank für die Engelsgeduld und die vielen Antworten :)