Hi,
ich habe folgende Funktionenfolge:
$$\varphi _{k}(x) =\left\{\begin{matrix}\frac{k}{2}, \quad \left | x \right |\leq \frac{1}{k} \\ 0, \quad sonst\end{matrix}\right.$$
und möchte folgendes zeigen:
$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cdot \varphi _{k}(x) \, dx \rightarrow f(0) \quad für \quad k \rightarrow \infty $$
f(x) ist beschränkt.
Ich würde nun als nächstes f(0) auf die andere Seite bringen, sodass ich dann eine Konvergenz gegen 0 zeigen muss. Um dies dann zu zeigen müsste ich aber f(0) in das Integral ziehen und ich bin mir nicht sicher, ob und wenn ja wie ich das machen darf. Wenn das Integral dann so aussehen würde $$\int_{-\infty}^{\infty}(f(x)-f(0))\cdot\varphi_k(x)\,dx$$ könnte man $$|(f(x)-f(0))| < \varepsilon $$ so abschätzen und dann die Konvergenz gegen 0 zeigen.