Funktionenfolge Konvergenz gegen f(0)

Question

Hi,

ich habe folgende Funktionenfolge:

$$\varphi _{k}(x) =\left\{\begin{matrix}\frac{k}{2}, \quad \left | x \right |\leq \frac{1}{k} \\ 0, \quad sonst\end{matrix}\right.$$

und möchte folgendes zeigen:

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cdot \varphi _{k}(x) \, dx \rightarrow f(0) \quad für \quad k \rightarrow \infty $$

f(x) ist beschränkt.

Ich würde nun als nächstes f(0) auf die andere Seite bringen, sodass ich dann eine Konvergenz gegen 0 zeigen muss. Um dies dann zu zeigen müsste ich aber f(0) in das Integral ziehen und ich bin mir nicht sicher, ob und wenn ja wie ich das machen darf. Wenn das Integral dann so aussehen würde $$\int_{-\infty}^{\infty}(f(x)-f(0))\cdot\varphi_k(x)\,dx$$ könnte man $$|(f(x)-f(0))| < \varepsilon $$ so abschätzen und dann die Konvergenz gegen 0 zeigen.

Comments

∫_-∞..∞ f(x)·φ_k(x) dx → 1 für k→∞, falls f(x)=1 ist.

Das, was du zeigen möchtest, stimmt also überhaupt nicht.

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Es hat sich leider ein Fehler eingeschlichen. So ist es richtig:

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \cdot \varphi_{k}(x) \, dx \rightarrow f(0) \quad für \quad k \rightarrow \infty$$

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Korrektur: $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \cdot \varphi_{k}(x) \, dx \rightarrow f(0) \quad für \quad k \rightarrow \infty$$

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Ich habe den Fehler in deinem Beitrag korrigiert.

Answer 1

Du faengst damit an, dass Du \(\phi_k\) eintraegst: $$\int_{-\infty}^\infty f(x)\phi_k(x)\,dx=\frac{k}{2}\int_{-1/k}^{1/k}f(x)\,dx.$$ Damit das gegen \(f(0)\) konvergiert, muss \(f\) schon etwas mehr als nur beschraenkt sein. Wenn \(f\) etwa stetig ist, kann man den Mittelwertsatz der Integralrechnung bemuehen.

Comments

Wie ich nun herausgefunden habe ist die Funktion stetig. Mir war die Bedeutung von $$f \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$$ nicht ganz klar. Wenn ich mir die Definition des Mittelwertsatzes anschaue, sehe ich das sich $$\frac{k}{2}$$ wahrscheinlich wegen den Integralgrenzen wegkürzt. Allerdings verstehe ich noch nicht ganz wie ich dann ein entsprechendes $$x_{0} = 0$$ bestimmen kann, damit  $$f(0)$$ stehen bleibt. Könntest Du darauf noch einmal genauer eingehen?

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Du kriegst natuerlich für jedes \(k\) im Allgemeinen eine andere Zwischenstelle. Nenne sie deshalb lieber \(x_k\). Zu bestimmen ist da nichts, solange man \(f\) nicht konkret kennt. Es wir auch im Allgemeinen nie \(x_k=0\) sein.

Was kann man aber ueber die Lage von \(x_k\) sagen?

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Hmm, x_k muss im Intervall [-1/k, 1/k] liegen. Meinst du das? Laut Aufgabenstellung soll ich jedoch zeigen, dass x_k genau 0 ist. Ich bin mir auch sicher, dass das geht habe allerdings keinen Lösungsweg mitgeschrieben.

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Laut Aufgabenstellung sollst Du $$I_k:=\int_{-\infty}^\infty f(x)\phi_k(x)\,dx=\frac{k}{2}\int_{-1/k}^{1/k}f(x)\,dx\to f(0)$$ zeigen.

Bisher kam raus, dass für jedes \(k\) ein \(x_k\in[-1/k,1/k]\) mit \(I_k=f(x_k)\) existiert.

Jetzt bringe die Sache eben zu Ende, indem Du auf \(I_k\to f(0)\) schliesst.