Prüfen Sie, ob die Gerade g das Parallelogramm ABCD schneidet?

Question

Aufgabe:

g: x= {2/0/5} + r*{1/8/-1}

A(0/0/0) B(6/0/0) C(6/4/2) D(0/4/2)

Findet jemand meinen Fehler, für t sollte 0,5 und für s= 2 herauskommen und die Gerade somit das Parallelogramm nicht treffen

Bei mir trifft sie es auch nicht, ich bekomme aber andere Werte für t und s herauf

(t und s sind meine Parameter für die Ebenengleichung)

 

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Inzwischen habe ich die Bedingungen gefunden,ob eine Punkt im Dreieck liegt.

1) Ps(3/8/4) liegt auf der Ebene

2) A(0/0/0) und B(6/0/0) und C(6/4/2)

Bedingung,dass Ps(3/8/4) im Dreieck A(...) B(....) und C(....) liegt

Ebenengleichung E: x=a+r*u+s*v  bezüglich A,B und C

1) 0≤ r ≤1

2) 0≤ s ≤1

3) 0≤ r+s ≤1

Das Gleiche machst du dann mit B(...) C(....) und D(....)

Answer 1

Unten auf deinem ersten Blatt hast du die Ebenengleichung mit den Richtungsvektoren

AB und AC aufgestellt.

Wenn die Parameter für das Parallelogramm aber jeweils von 0 bis 1 laufen sollen, musst du

AB und AD nehmen (wie der Mathecoach).

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Ahh okay ja das verstehe ich , danke!!

Answer 2

[0, 0, 0] + r·[6, 0, 0] + s·[0, 4, 2] = [2, 0, 5] + t·[1, 8, -1] --> r = 0.5 ∧ s = 2 ∧ t = 1

Da s = 2 ist wird das Parallelogramm hier nicht geschnitten. Die Gerade schneidet die Ebene in der das Parallelogramm liegt außerhalb des Parallelogramms.

Das Gleichungssystem

6·r - t = 2
4·s - 8·t = 0
2·s + t = 5

Kannst du sicher lösen. Löse zuerst

4·s - 8·t = 0
2·s + t = 5

Helfen kann dir z.B. Photomath bei den Gleichungen.

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Ahh okay ja ich habe die falsche Ebenengleichung aufgestellt , danke für die Hilfe!!

Answer 3

(t und s sind meine Parameter für die Ebenengleichung)

Es gibt nicht nur eine Ebenengleichung. Damit gibt es auch verschiedene Paare (s,t) für den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene. Dann wäre noch zu prüfen, ob dieser in Inneren des Parallelogramms liegt.

Answer 4

Dreipunktgleichung der Ebene E: x=a+t*(b-a)+s*(c-a)

A(0/0/0) → a(0/0/0)

B(6/0/0) → b(6/0/0)

C(6/4/2) → c(6/4/2)

Gerade g: x=(2/0/5)+r*(1/8/-1)

E: x=(0/0/0)+t*((6/0/0)-(0/0/0))+s*((6/4/2)-(0/0/0))

x=(0/0/0)+t*(6/0/0)+s*(6/4/2)   g: in E:

x-Richtung: 1) 2+r*1=0+t*6+s*6

y-Richtung: 2) 0+r*8=0+t*0+s*4

z-Richtung: 3) 5+r*(-1)=0+t*0+s*s

1) 1*r-6*t-6*s=-2

2) 6*r-0*t-4*s=0

3) -1*r-0*t-2*s=-5

Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio)

r=1 und t=-1,5 und s=2

in g: x=(2/0/5)+1*(1/8/-1)

x-Richtung: x=2+1*1=3

y-Richtung: y=0+1*8=8

z-Richtung: z=5+1*(-1)=4

Schnittpunkt mit der Ebene E: Ps(3/8/4)

Ich weiß jetzt aber nicht die Bedingung,dass Ps im Parallelogramm liegt oder nicht.

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Ich weiß jetzt aber nicht die Bedingung,dass Ps im Parallelogramm liegt oder nicht.

Ist die Ebene in der Form$$E: \space x = t \begin{pmatrix} 6\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 6\\ 4\\ 2\end{pmatrix}$$gegeben, so muss für  \(t\) und \(s\) gelten$$(0 \le t+s \le 1)\space \land\space  (0 \le s \le 1)  $$damit der resultierende Punkt im Parallelogramm \(ABCD\) liegt.

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Habe ich nachträglich oben aufgeschrieben.

Ps(xs/ys/zs) in die Ebenengleichung einsetzen und die Ebenenparameter

t und s bestimmen

Die Ebenengleichung habe ich mit den Punkten A(xax/ay/az) und B(bx/by/bz) und C(cx/cy/cz) aufgestellt.

Mit den Bedingungen kannst du dann überprüfen,ob der Punkt Ps(xs/ys/zs) im Dreieck A(...) ,B(...) und C(...) liegt.

Mit den Punkten B(...) und C(....) und D(....) müßte das die selbe Ebenengleichung gaben (überprüfen,sicher ist sicher)

Dann kannst du wieder mit den Bedingungen überprüfen,ob Ps(xs/ys/zs) im Dreieck B(...),C(....) und D(...) liegt