Definition (Bernoulli-Experiment). Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsversuch, der genau zwei Ergebnisse hat.
Die zwei Ergebnisse werden üblicherweise als Erfolg und Misserfolg bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit, dass Erfolg eintritt, heißt Erfolgswahrscheinlichkeit und wird üblicherweise mit \(p\) bezeichnet.
bei deb restlichen muss er raten
Jede der restlichen Fragen ist ein Bernoulli-Experiment, weil es bei jeder der restlichen Fragen nur die zwei Ergebnisse richtig geraten und falsch geraten gibt.
Er rät mit p=1/3
Das ist jetzt nicht so ganz deutlich, ob das die Wahrscheinlichkeit ist, richtig zu raten, oder die, falsch zu raten.
Ich entscheide mich dafür, dass es die Wahrscheinlichkeit ist, richtig zu raten und bezeichne richtig geraten als Erfolg. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist dann 1/3.
Eine Klausur besteht aus 50 Testfragen. 8 kann der Kandidat richtig beantworten, bei deb restlichen muss er raten.
Definition (Bernoulli-Kette). Ein Bernoulli-Kette der Länge \(n\) ist ein Zufallsversuch, der daraus besteht, dass ein Bernoulli-Experiment unabhängig voneinander \(n\) mal durchgeführt wird.
Bei dem Experiment "Die restlichen Fragen raten" handelt es sich also um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 50-8 = 42\), weil das Raten 42 mal unabhängig voneinander ausgeführt wird. Die Erfolgswahrscheinlichkeit der Bernoulli-Experimente ist \(p = \frac{1}{3}\).
Satz (Bernoulli-Formel). In einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) aus Bernoulli-Experimenten mit Erfolgswahrscheinichkeit \(p\) ist die Wahrscheinlichkeit, das genau \(k\) Erfolge eintreten
\(P(X=k) = {n\choose k} \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\).
Der Ausdruck \({n\choose k}\) heißt Binomialkoeffizient. Er wird berechnet mittels
\({n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).
Gängige Taschenrechner haben aber eine Funktion eingebaut, um Binomialkoeffizienten zu berechnen, oft mit nCr bezeichnet.
Auch die Bernoulli-Formel haben Taschenrechner oft eingebaut, z.B. unter der Funktion bpd oder BinomialPD. Schau in der Bedienungsanleitung deines Taschenrechner unter dem Stichwort Binomialverteilung nach.
Beispiel. Die Wahrscheinlichkeit, dass von den 42 zu ratenden Fragen genau 14 richtig beantwortet werden, beträgt
\(P(X=14) = {42\choose 14} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{14}\cdot \left(1-\frac{1}{3}\right)^{42-14}\approx 0,1297\).
A) mindestens 40
Von den 42 zu ratenden Fragen müssen mindestens 40-8 = 32 richtig geraten werden. Das heißt es müssen genau 32 richtig geraten werden oder genau 33 richtig geraten werden oder ... oder genau 42 richtig geraten werden. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, müssen die Einzelwahrscheinlichgkeiten addiert werden, also
\(P(X = 32) + P(X = 33) + ... + P(X = 42)\)
wobei \(n = 42\) und \(p = \frac{1}{3}\) ist.
Weil das recht mühselig ist, haben moderne Taschenrechner auch dazu eine Funktion eingebaut. Mit dieser Funktion kann direkt
\(P(X ≤ k)\)
berechnet werden, also die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens \(k\) Erfolge eintreten. Die Funktion heißt im Taschenrechner oft bcd oder BinomialCD. Schau dazu in der Bedienungsanleitung deines Taschenrechners unter dem Stichwort kumulierte Binomialverteilung nach.
Ein Problem bleibt noch: Du sollst
\(P(X ≥ 32)\)
berechnen, aber der Taschenrechner kann nur
\(P(X ≤ k)\)
berechnen. Das kann man reparieren indem man das Problem umformuiert:
Das Ereignis "mindestens 32 Erfolge" ist das Gegenereignis von "höchstens 31 Erfolge". Also ist wegen Gegenwahrscheinlichkeit
\(P(X ≥ 32) = 1 - P(X ≤ 31)\).
Und letzteres kann mit der vom Taschenrechner bereitgestellten kumulierten Binomialverteilung berechnet werden.
