Wie bilde ich die Ableitung & Stammfunktion der Funktion f?

Question

Aufgabe:

Bilden sie jeweils die erste Ableitung und eine Stammfunktion der Funktion f.

f(x)= √2x+4 = (2x+4) ^1/2

f(x)= √x + 1/6x^-6+ 1/x^3

Answer 1

f(x)= √2x+4 = (2x+4) ^1/2

Zunächst ein mal hast du hier notwendige Klammern ausgelassen. Korrekt ist √(2x+4), jedenfalls wenn (2x+4) ^1/2 korrekt ist.

Die Ableitung kannst du mit der Kettenregel

(1)        f(x) = g(h(x)) ⇒ f'(x) = g'(h(x))·h'(x)

berechnen. Dabei ist

(2)        h(x) = 2x+4

und

(3)        g(h) = h^1/2.

Demnach ist

(4)        h'(x) = 2

und

(5)        g'(h) = 1/2·h^-1/2.

Einsetzen von (2) und (5) ergibt

(6)        g'(h(x)) = 1/2·(2x+4)^-1/2.

Einsetzen von (4) und (6) in (1) ergibt

        f'(x) = 1/2·(2x+4)^-1/2·2 = (2x+4)^-1/2.

Um das mal zusammenzufassen, durch Ableiten

1. kam der Exponent als neuer Faktor hinzu,
2. wurde der Exponent um 1 veringert,
   
3. kam die Ableitung der inneren Funktion h(x) als Faktor hinzu.

Was meinst du wird durch Bildung der Stammfunktion passieren?

Comments

Ich kann mir gut vorstellen, dass der Exponent um 1 höher wird

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Das stimmt soweit, ist aber noch nicht Alles. Im Moment hättest du (2x+4)^3/2. Leite das mal ab und schau nach, was dich noch stört.

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Wäre das dann 3/2 (2x+4)^-3/2 ?

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Nun ja, 3/2 - 1 ist 1/2, also steht da (2x+4)^1/2 anstatt (2x + 4)^-3/2. Der Faktor 3/2 ist richtig, weil das ja der alte Exponent war. Es kommt aber noch die Ableitung 2 der inneren Funktion 2x+4 hinzu.

Zusammengefasst: Wenn

        G(x) = (2x + 4)^3/2.

ist, dann ist

        G'(x) = 3/2 · (2x+4)^1/2·2 = 3(2x+4)^1/2.

Gegenüber deinem f ist also der Faktor 3 zu viel. Den bekommst du weg indem du durch 3 teilst. Stammfunktion von

        f(x) = (2x+4)^1/2

ist also

        F(x) = 1/3·(2x+4)^3/2.

lul hat das in seiner Antwort in eine Formel gepresst (a = 2, b=4, r=1/2).

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Aber warum muss man 1/2 (2x+4) ^-1/2 nochmal ableiten um auf die Stammfunktion zu kommen?

Answer 2

Hallo

 Kettenregel (ax+b)^r abgeleitet gibt r*(ax+b)^r-1*a

(ax+b)^r integriert gibt 1/(r+1)*(ax+b)^r+1*1/a

wenn dein zweites f so aussieht wie es da steht jedes einzelne Glied einzeln differenzieren und integrieren

Gruß lul

Answer 3

f(x)=(2*x+4)^(0,5)

Kettenregel f´(x)=z´*f´(z)=innere Ableitung mal äußere Ableitung

Substutution (ersetzen) z=2*x+4  abgeleitet z´=dz/dx=2

f(z)=z^(0,5)  abgeleitet f´(z)=0,5*z^(0,5-1)=0,5*z^(-0,5)=0,5/z^(0,5)

f´(x)=z´*f´(z)=2*0,5/Wurzel(2*x+4)=1/Wurzel(2*x+4)

F(x)=Integral(2*x+4)^(0,5) dx

Integration durch Substitution (ersetzen) F(x)=Integral(f(z)*dz*1/z´

Substitution z=2*x+4  abgeleitet z´=dz/dx=2  ergibt dx=dz*1/2

f(z)=z^(0,5)

F(x)=Integ.(z^(0,5)*dz*1/2=1/2*Int.(z^(0,5)*dz=1/2*z^(0,5+1)*1/(0,5+1)+C

F(x)=1/2*z^(1,5)*1/1,5+C  mit 1,5=3/2

F(x)=1/2*2/3*(...)^(3/2)+C=1/3*Wurzel(2*x+4)³)+C

f(x)=x^(0,5)+1/6*1/x⁶+1/x³

spezielle Quotientenregel (1/v)´=-1*v´/v²  siehe Mathe-Formelbuch,Differentationsregeln,elementare Ableitungen

f1(x)=x^(0,5) abgeleitet f´1(x)=0,5*x^(0,5-1)=0,5*x^(-0,5)=0,5/x^(0,5)=0,5/Wurzel(x)

f2(x)=1/6*1/x⁶

(1/x⁶) → v=x⁶  → v´=6*x^5  v²=(x⁶)²=x^1²

f´2(x)=1/6*(-1)*6*x^5/x^1²=-6/6*1/x⁷

f´2(x)=-1/x⁷

f3(x)=1/x³ → v=x³ → v´=3*x²  v²=(x³)²=x⁶

f´3(x)=1*(-1)*3*x²/x⁶=-3/x^4

f´(x)=f´1(x)+/- f´2(x)+/-...f´n(x) Summenregel  siehe Mathe-Formelbuch Differentationsregeln

f´(x)=0,5/Wurzel(x)-1/x⁷-3/x^4

F(x)=Integral((x^(0,5)+1/6*1/x⁶+1/x³)*dx

F(x)=Int.(x^(0,5)*dx)+1/6*Int.(1/x⁶*dx)+int.(1/x³*dx)

F(x)=x^(0,5+1)*1/(0,5+1)+1/6*x^(-6+1)*1/(-6+1)+x^(-3+1)*1/(-3+1)+C

F(x)=x^(1,5)*1/1,5+1/6*x^(-5)*1/-5+x^(-2)*1/(-2)+C

F(x)=2/3*Wurzel(x³)-1/30*1/x^5-1/2*1/x²+C

Potenzgesetz a^(n)=1/a^(-n) oder a^(-n)=1/a^(n)

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