Flächeninhalt Trapez ohne Höhe berechnen

Question

Aufgabe:

Ein nicht symmetrisches Trapez besteht aus folgenden Vektoren:

\( \vec{LI} =  \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\vec{IJ} =  \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} , \vec{JK} =  \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} , \vec{KL} =  \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} \) 

Berechne den Flächeninhalt des Trapezes.

Problem/Ansatz:

Bin am grübeln. Hab noch keinen Ansatz.

Answer 1

Aloha :)

Teile das Trapez in 2 Dreiecke auf: \(\Delta LIJ\,,\,\Delta LKJ\). Berechne mittels des halben Vektorproduktes die Fläche der Dreiecke und addiere die Flächen zur Gesamtfläche. Beachte dabei, dass die beiden Vektoren für das Vektorprodukt von dem gleichen Punkt ausgehen müssen, also beim \(\Delta LIJ\) vom Punkt \(I\) und beim Dreieck \(\Delta LKJ\) vom Punkt \(K\).

$$F_{\Delta LIK}=\frac{1}{2}\left|-\overrightarrow{LI}\times\overrightarrow{IJ}\right|=\frac{1}{2}\left|\left(\begin{array}{c}-20\\-8\\-20\end{array}\right)\right|=\frac{1}{2}\sqrt{864}$$$$F_{\Delta LKJ}=\frac{1}{2}\left|-\overrightarrow{JK}\times\overrightarrow{KL}\right|=\frac{1}{2}\left|\left(\begin{array}{c}-10\\-8\\-10\end{array}\right)\right|=\frac{1}{2}\sqrt{264}$$$$F=\frac{1}{2}\sqrt{864}+\frac{1}{2}\sqrt{264}\approx22,82\,FE$$

Comments

Müssten die beiden Kreuzprodukte nicht kollinear sein, wenn die

4 Punkte alle in einer Ebene liegen ?

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Gut beobachtet!

Dabei liegt der Fehler nicht beim übereifrigen Tschaka, sondern beim Fragesteller.

Die Summe der vier gegebenen Vektoren müsste in einem Umlauf den Nullvektor ergeben, was sie nicht tut. Vermutlich sollte die z-Koordinate von   \(\vec{IJ}\) nicht 1, sondern -1 sein.

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Stimmt! Ich habe beide Kreuzprodukte gerade nochmal nachgerechnet. Das heißt, die 4 Punkte liegen nicht in einer Ebene.

Aber trotzdem stimmt die Rechnung und das Vorgehen. Drei Punkte liegen immer in einer Ebene. Wir haben also 2 Dreiecke, die einen "Knick" entlang der Diagonalen \(\overline{LJ}\) haben. Die Fläche des Vierecks wird durch den "Knick" ja nicht geändert.

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Ich hatte ein Trapez bisher immer für ein ebenes Viereck gehalten.

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Wir haben also 2 Dreiecke, die einen "Knick" entlang der Diagonalen LJ haben

@Tschaka

Hier täuschst du dich. Die gegebenen Vektoren   \(\vec{LI}\) und  \(\vec{JK}\) sind Vielfache voneinander. Damit sind die Geraden  LK und JK parallel, und alle vier Punkte liegen somit in einer Ebene.
Das Viereck kann somit unter diesen Voraussetzungen keinen "Knick" haben. Wenn die übrigen beiden Vektoren was anderes sagen, dann kann dieses "Trapez" schlicht und ergreifend nicht existieren.

(Aber für ein nicht existierendes Trapez hast du eine gute Flächenberechnung geliefert.) ;-)

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Stimmt, die beiden Linien sind parallel. Also muss ein Fehler in den Koordinaten vorliegen. Vermutlich hast du, Abakus, recht. Wenn die dritte Komponente des Vektors \(\overrightarrow{IJ}\) nicht \(1\), sondern \(-1\) ist, erhalte ich:

$$F_{\Delta LIK}=\frac{1}{2}\left|-\overrightarrow{LI}\times\overrightarrow{IJ}\right|=\frac{1}{2}\left|\left(\begin{array}{c}-20\\-16\\-20\end{array}\right)\right|=\frac{1}{2}\sqrt{1056}$$$$F_{\Delta LKJ}=\frac{1}{2}\left|-\overrightarrow{JK}\times\overrightarrow{KL}\right|=\frac{1}{2}\left|\left(\begin{array}{c}-10\\-8\\-10\end{array}\right)\right|=\frac{1}{2}\sqrt{264}$$$$F=\frac{1}{2}\sqrt{1056}+\frac{1}{2}\sqrt{264}\approx24,37\,FE$$

@bolshi:

Prüfe mal bitte, ob die letzte Koordinate von \(\overrightarrow{IJ}\) nicht doch \(-1\) ist. Dann wäre das Viereck in einer Ebene und die Rechnung hier aus dem Kommentar wäre richtig.

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Hab mich verhauen, ist -1

Text erkannt:

\( \sum \limits_{0}^{\infty} \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[6]{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \)

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Die Fläche des Vierecks wird durch den "Knick" ja nicht geändert.

Wenn der 'Knick' definiert ist - dann nicht. Aber wer sagt, dass der Knick über die Diagonale \(LJ\) läuft - was ist mit der anderen Diagonale \(IK\)? Ich bin sicher, dass die Summe der Dreiecksflächen im Allgemeinen ungleich ist!
Wie wäre es daher mit der Berechnung der Fläche der Minimalfläche - die von vier zusammen hängenden Strecken aufgespannt wird, die nicht in einer Ebene liegen ;-)

Answer 2

LI und JK sind die parallelen Seiten mit den Längen √32   und √8.

Die Höhe ist z.B. der Abstand von K zur Geraden LI.

Bist du sicher dass die Zahlen stimmen, ich habe den Eindruck dass die

4 Punkte gar nicht in einer Ebene liegen.

Comments

Die Addition der 4 Vektoren sollte den Nullvektor ergeben. Auch das haut mit der z-Koordinate nicht hin.

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Also gibt es gar keine Punkte LIJK in R^3 bei denen die

Vektoren die angegebenen Koordinaten haben.

Aufgabe somit unsinnig (oder vertippt).

Answer 3

Hallo bolshi,

Die vier Vektoren ergeben keinen geschlossenen Polyginzug, wie man hier sehen kann

addiere zur Kontrolle alle Z-Koordinaten - die Summe sollte =0 sein. Ich unterstelle daher, dass \(\vec{IJ}\) gleich $$\vec{IJ} = \begin{pmatrix}-3\\ 5\\ -1\end{pmatrix}$$Eine einfache Möglichkeit den Flächeninhalt eines Trapezes zu berechnen, dessen Seiten als Vektoren gegeben sind, besteht darin, die Fläche des Parallelogramms zu berechnen, das sich ergibt, wenn man ein zweites Trapez gleicher Größe kopfüber an das erste anhängt. Im Prinzip sieht das so aus:

Dann ist die Flächenberechnung über ein Kreuzprodukt möglich. Die Fläche \(F_T\) des Trapezes berechnet sich aus$$2 \cdot F_T = \left|  \left( \vec{LI} - \vec{JK}\right) \times \left( - \vec{LK}\right)  \right| \\ \quad = \left|\vec{LK} \times \left( \vec{LI} - \vec{JK}\right) \right| \\ \quad = \left| \begin{pmatrix}1\\ -5\\ 3\end{pmatrix} \times \left( \begin{pmatrix}4\\ 0\\ -4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2\\ 0\\ 2\end{pmatrix}\right) \right| \\ \quad = \left| \begin{pmatrix}30\\ 12\\ 30\end{pmatrix} \right| = \sqrt{2376} \\ \implies F_T \approx 24,37$$ Gruß Werner

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Hab mich verhauen, ist -1

Habe die Korrektur übernommen (s.o.)

Answer 4

Suche dir eine der beiden Diagonalen des Dreiecks (z.B. IK )aus. Diese Diagonale zerlegt das Trapez in zwei Dreiecke. Diese beiden Dreiecke werden aufgespannt von den Vektoren \(\vec{LI}\) und  \(\vec{LK}\) bzw.  von den Vektoren \(\vec{JI}\) und  \(\vec{JK}\).

Die Dreiecksflächen solltest du mit Hilfe des Vektorprodukts berechnen können...

PS: Oder warte, bis dir ein übereifriger Nutzer alles vorrechnet.

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Oder warte, bis dir ein übereifriger Nutzer alles vorrechnet.

.. oder warte bis ein andere Nutzer eine bessere Lösung liefert ;-)

Answer 5

Hier die Rechnung mit den richtigen Vektoren:

A = 1/2·ABS([4, 0, -4] ⨯ [-3, 5, -1]) + 1/2·ABS([-2, 0, 2] ⨯ [1, -5, 3]) = 3·√66 = 24.37

PS. Es ist für die Flächenberechnung unerheblich ob man mit IL oder LI rechnet. Man braucht hier also keine Gegenvektoren bilden.

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Hab das Ganze nachgerechnet. Durchs Runden bin ich auf 24,36 gekommen. Viel wichtiger aber: an Hand eurer Erklärungen hab ich jetzt eine Programmablaufplan

Danke danke :)

Eine Sache noch der Neugier halber:

Beim Kreuzprodukt bin ich fürs erste Dreieck auf \( \sqrt1056 \) gekommen.

Fürs zweite Dreieck auf \( \sqrt264 \)

Wie kommst du auf 3* \( \sqrt66 \) ?

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√1056 = √(16·66) = 4·√66

√264 = √(4·66) = 2·√66

Beide Wurzeln müsstest du noch durch 2 Teilen und dann addieren. Dann kommst du auf 3·√66. Das solltest du jetzt sehen können oder?

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jo, danke :)

Answer 6

Das Trapez kannst du in 2 Dreiecke aufteilen.

Fläche vom Dreieck über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) A=1/2 Betrag (a kreuz b)

Vektorprodukt (Kreuzprodukt) a kreuz b=c

Der Vektor c(cx/cy/cz) steht senkrecht auf den Vektoren a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz)

Das ist eine Rechtssystem.

Man dreht die x-Achse auf kürzesten Weg zur y-Achse und das ist die Bewegung einer Rechtschraube

Der Vektor c(cx/cy/cz) zeigt dann in die Bewegungsrichtung der Schraubenbewegung.

Betrag (c)=Wurzel(cx²+cy²+cz²) ist dann der Flächeninhalt des Parallelogramms,was von den beiden Vektoren a und b aufgespannt wird.

Das Parallelogramm entsteht durch die Spiegelung eines Dreiecks um eine Seite.

Deshalb Fläche vom Dreieck A=1/2*Betrag(a kreuz b)

a(ax/ay/az) ist der Richtungsvektor von Punkt LI nach LJ

b(bx/by/bz) ist der Richtungsvektor von Punkt LI nach LK

Das Selbe dann von KL naxch JK  und von KL nach IJ

Gesamtfläche=Dreieck1 + Dreieck 2