Ungleichungen mit Fallunterscheidung

Question

Aufgabe:

|x + 1| - |2x - 6| <= 10

|x + 1| = {	x + 1, x >= -1
	-x - 1, x < -1

x + 1 >= 0 / -1

x >= -1 Richtig!

aber: 

-x - 1 < 0 / +1

-x < 1 / *(-1)

x > -1 Falsch! Warum?

|2x - 6| = {	2x - 6, x >= 3
	-2x + 6, x < 3

2x - 6 >= 0 / +6
2x >= +6 / /2

x >= 3 Richtig!

aber:
-2x + 6 < 0 / -6
-2x < -6 / *(-1)
2x > 6 / /2

x > 3 Falsch! Warum?

Ebenfalls im Video https://www.youtube.com/watch?v=iV4rPL9Mg24 Minute 1:28 ist es ebenfalls x < 4, anstatt x > 4.

-(x - 4) < 0

-x + 4 < 0 / -4

-x < -4 / *(-1)

x > 4 Falsch! Warum?

Comments

Wichtig ist wann die Betragsfunktion 0 ist.

Für über oder unter null ( positiv oder negativ ) bedeutet die Betragsfunktion

term > 0 : | term |  = term
term < 0 : | term | = term * (-1)

Fallunterscheidung für
| x + 1|
falls
x + 1 >= 0
x >= -1
dann ist
| x + 1|  = x + 1
falls
x + 1 < 0
x < -1
dann ist
| x + 1|  = ( x + 1 ) * ( -1) = - x -1

für x >= -1 muß eingesetzt werden x + 1
für x < -1 muß eingesetzt werden - x - 1

---

Es gibt 3 Fälle:
x<-1

-1≤x<3

x≥3

---

Hallo Andreas,
Ziel meines Kommentars war es nicht die komplette
Aufgabe lösen zu wollen sondern darauf hinzuweisen
wie man mit Beträgen umgeht.
Deshalb auch nur 1 Beispiel.

Ich empfehle außerdem die Nullstellen der
Betragsfunktion auf einem Zahlenstrahl
einzuzeichnen und die entstehenden Bereich
zu nummerieren.

Dann behält man doch mehr den Überblick-

Zur Erheiterung

Ein Berliner Junge zieht mit seinen Eltern in Bayerische Wald.
Der Vater hat dort eine neue Stelle.
Der Junge geht dort auf die katholische Schule.
Nach ein paar Wochen fragt der Lehrer :
Was ist das ? Es ist klein und rot und flitzt im Wald
von Ast zu Ast ?
Der Junge meldet sich und sagt : Normalerweise würd ick
sagen det ist ein Eichhörnchen. Aber so wie ich den Verein
hier kennengelernt habe ist es sicher das liebe Jesulein.

Answer 1

aber:

-x - 1 < 0

Warum sollte das gelten?

Für den Betrag  (von was auch immer) gilt, dass der Betrag größer oder gleich 0 ist.

Vergiss nicht, dass dein -x-1 hier nur ein Ersatzterm ist für |x+1|, und |x+1| ist nie <0.

Comments

Danke für die schnelle Antwort!

D.h. meine zweite Rechnung ist unnötig und wird gar nicht gebraucht?

|x| = {	x, falls x >= 0
	-x, falls x < 0

Ich rechne, somit nur den ersten (fettgedruckten) Teil aus. x ist größer gleich die ausgerechte Zahl und -x gilt ist dann eben kleiner die ausgerechnete Zahl?

Hier nochmal z.B.:

|x + 1| = {	x + 1, x >= -1
	-x - 1, x < -1

Ich rechne somit nur:

x + 1 >= 0 / -1
x >= -1

und setze diese -1 einfach für die Null bei x < 0 ein (x < -1)?

Habe ich das so richtig verstanden? 

---

Das klingt äußerst wirr.

Beim Lösen der Ungleichung |x + 1| - |2x - 6| <= 10 geht es darum, die vorkommenden Terme OHNE Verwendung von Betragsstrichen richtig hinzuschreiben.

Wir halten fest: x+1 ist positiv für x>-1.

 Bei einer positiven Zahl (und auch beim Wert 0)  kann man die Betragsstriche einfach weglassen. Wenn x also größer (oder gleich) -1 ist, kann ich an Stelle von |x+1| nur (x+1) schreiben.

x+1 ist negativ für x<-1. Wenn x<-1 ist, kann ich |x+1| durch -(x+1), also durch -x-1 ersetzen.

Genau so untersuchen wir den Term 2x+6. Er ist positiv für x>3 und negativ für x<3.

Für x≥ 3 gilt |2x-6|= (2x-6).

Für x<3 gilt  |2x-6|= -(2x-6)= -2x + 6.

Wir haben jetzt DREI Zahlenbereiche, in denen die Beträge nach unterschiedlichen Regeln geschrieben werden:

a) alle Zahlen kleiner als -1

b) die Zahlen zwischen -1 und 3

c) die Zahlen ab 3.

|x+1| wird nur im Fall a) als -(x+1) geschrieben, bei b) und c) als (x+1)

|2x-6| wird in den Fällen a) und b) als -(2x+6) geschrieben und im Fall c) als (2x+6)