Verhältnis, in dem Schnittpunkt Kante teilt

Question

Aufgabe:

Für einen Wert von r schneidet die Gerade

\( g : \vec{x} =  \begin{pmatrix} 4-r \\ 0 \\ r^2+1 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix} \)

mit \( u \in \mathbb{R} \) die Kante \(  \overline{GH} \) des Würfels. Bestimme das Verhältnis, in dem der Schnittpunkt die Kante teilt.

 
Problem/Ansatz:

\( G = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} , H = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} \)

Somit ist \( GH : \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Zum Bestimmen von r, s und u setze ich GH und g gleich.

Hieraus ergibt sich für \( u=-1 \), für \( r_1=2, r_2=-2 \), für \( s_1= \frac{7}{5} , s_2= \frac{3}{5} \)

Dann kommt der Hinweis: Für \( s \leq 0 \ und \ s \geq 1 \) liegen die zugehörigen Punkte zwar auf GH, allerdings ausserhalb der Kante \( \overline{GH} \). Somit sind \( r_2, s_2 \ und \ u \) einzige Lösung.

Woran sehe ich, dass GH von 0 bis 1 geht?

Answer 1

Hallo bolshi,

\(s\) (d.h der freie Parameter der Geradengleichung durch \(GH\)) soll zwischen 0 und 1 liegen. Und das ist für \(s_2=3/5\) der Fall.

Versuche mal das aufzuzeichnen, dann wird das klarer:

 die grüne Gerade ist die Gerade, die sich bei \(r=-2\) ergibt. Und sie schneidet die Kante \(GH\) zwischen den Punkten \(G\) und \(H\). Der Fakor \(s\) der Geraden durch \(GH\) gibt das Vielfache des Vektors \(\vec{GH}\) an, um den der Schnittpunkt \(S\) von \(G\) entfernt ist. Und wenn \(s\) zwischen 0 und 1 liegt, dann liegt der Schnittpunkt \(S\) noch 'innerhalb' des (hellblauen) Vektors \(\vec{GH}\) und damit auf der Kante des Würfels.

Gruß Werner

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Antwort noch mal erweitert.

Answer 2

Woran sehe ich, dass GH von 0 bis 1 geht?

So ist es verkehrt. GH ist die ist Gerade.  \( \overline{GH} \) ist die Strecke von G bis H und die geht von x = 0 bis z = 5.

Der Parameter s dieser Geraden GH geht für Punkte auf der Strecke von G bis H von 0 bis 1.

Das sind alles unterschiedliche Dinge die man nicht einfach alle zusammenwerfen sollte.

Für s1 ergab sich der Wert 7/5 = 1.4. Dieser Wert ist außerhalb des Bereiches von 0 bis 1 und damit ist es kein Punkt auf der Strecke von G bis H.

für s2 ergab sich der Wert 3/5 = 0.6 und dies ist ein Wert im Bereich von 0 bis 1 und damit ergibt sich damit auch ein Punkt auf der Strecke.

3/5 bedeutet im Sachzusammenhang. Das die Strecke GS 3/5 der Strecke GH ist, und SH 2/5 der Strecke GH ist. Das heißt von den 5 Längeneinheiten liegen auf der einen Seite 3 und auf der anderen Seite 2 Längeneinheiten. Damit wird die Strecke von G nach H vom Punkt S um Verhältnis von 3 : 2 geschnitten.

Comments

Hab's. Eigentlich wiederhole ich nur nochmal, was der Mathecoach schon geliefert hat. Ich sag's dennoch: Das Verhältnis der geteilten Strecken muss ja größer null, kleiner eins sein, da die Teilung prozentual ist. Insofern würden 7/5 wenig Sinn machen.

Danke :)