Logarithmusgleichung mit unterschiedlichen Basen

Question

Aufgabe:

Ich suche einen nachvollziebaren Rechenweg für die untenstehende Aufgabe, vor allen in Bezug auf die unterschiedlichen Basen.

Problem/Ansatz:

2log₄(x-1)+log₂(x+5)=4

Answer 1

Es gilt $$ \log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}  $$

Also $$ 2 \frac{\log_2(x-1)}{\log_4(2)} + \log_2(x+5) = \log_2(x-1) + \log_2(x+5) = \log_2(x^2+4x-5) = 4 $$

Also $$ x^2+4x-5 =16 $$ Also $$  x_1 = 3 \text{ und } x_2 = -7 $$ Die Lösung \( x_2 \) entfällt, da hierfür der Logarithmus nur für positive Werte defiiert ist.

Answer 2

Beispiel zur Verdeutlichung:

4²=16  logarithmiert

ln(4^(2))=2*ln(4)=ln(16) siehe Logarithmengesetz log(a^x)=x*log(a)

2=ln(16)/ln(4)=2

Kannst auch den Logarithmus mit der Basis 10 nehmen

also log4(x-1)=ln(x-1)/ln(4

log2(x+5=ln(x+5)/ln(2)

Logarithmengesetz log(u+v)=log(u*v) und log(u-v)=log(u/v)

 Den Rest schaffst du wohl selber.

Potenzsgesetz a^(r)*a^(s)=a^(r+s)

e^(ln(a)=a

Answer 3

2·log₄(x-1)=2·ln(x-1)/ln(4) =2·ln(x-1)/(2·ln(2))=ln(x-1)/ln(2)

log₂(x+5)=ln(x+5)/ln(2)

Also:

ln(x-1)/ln(2)+ln(x+5)/ln(2)=4

ln(x-1)+ln(x+5)=4·ln(2)

ln((x-1)(x+5))=ln(2⁴)

(x-1)(x+5)=16

x₁ = -7 x₂ = 3.

Answer 4

Aloha :)

Die \(2\) vor \(\log_4(x-1)\) führt auf den folgenden Lösungsweg:

$$\left.2\log_4(x-1)+\log_2(x+5)=4\quad\right|\;2^{\cdots}$$$$\left.2^{2\log_4(x-1)+\log_2(x+5)}=2^4\quad\right|\;\text{Potenzgesetze anwenden}$$$$\left.(2^2)^{\log_4(x-1)}\cdot2^{\log_2(x+5)}=2^4\quad\right|\;\text{Potenzen ausrechnen}$$$$\left.4^{\log_4(x-1)}\cdot2^{\log_2(x+5)}=16\quad\right|\;\text{vereinfachen}$$$$\left.(x-1)(x+5)=16\quad\right|\;\text{links ausmultiplizieren}$$$$\left.x^2+4x-5=16\quad\right|\;-16$$$$\left.x^2+4x-21=0\quad\right|\;\text{Faktorisierung: }7-3=4\;;\;7\cdot(-3)=21$$$$(x+7)(x-3)=0$$$$x=3$$Die zweite mögliche Lösung \((x=-7)\) ist keine, weil die Logarithmusfunktion nur für positive Argumente definiert ist.

Answer 5

log_4(x) = 1/2*log_2(x)

log_2(x-1) + log_2(x+5) =4

(x-1)*(x+5) = 2^4 =16

x^2+4x-21 = 0

(x+7)(x-3) = 0

x=-7 v x= 3- 7 entfällt als Lösing.

--> x=3