Die Seitenlängen bestimmen wenn nur der Umfang und der Flächeninhalt gegeben ist?

Question

Aufgabe:

Von einem Rechteck ist der Umfang und der Flächeninhalt gegeben. Bestimme die Seitenlängen.

u = 34mm ; A = 70mm²

Problem/Ansatz:

Ich weiß derzeit nicht wie ich die Seitenlängen bestimmen soll.

Ich bitte euch es mir einfach zu erklären. Ich bin ein Anfänger! ❤

Answer 1

Von einem Rechteck ist der Umfang und der Flächeninhalt gegeben.

Formeln für ein Rechteck mit Seitenlängen a und b:

       Umfang: u = 2(a+b)

       Flächeninhalt: A = a·b

u = 34mm ; A = 70mm²

In die Formeln einsetzen. Dann hast du zwei Gleichungen:

(1)       34 = 2(a+b)
(2)       70 = a·b

Gleichung (1) nach a auflösen:

        34 = 2(a+b)        | : 2
        17 = a+b            | - b
(3)    17 - b = a

In Gleichung (2) einsetzen

        70 = (17 - b) · b        ausmultiplizieren
        70 = 17b - b²           | + b² - 17b
        b² - 17b + 70 = 0

pq-Formel anwenden

        b = -(-17/2) ± √( (-17/2)² - 70) = 17/2 ± 3/2
        b₁ = 17/2 - 3/2 = 7
        b₂ = 17/2 + 3/2 = 10

In eine der anderen Gleichungen einsetzen um a auszurechnen. Es bietet sich Gleichung (3) an, weil die schon nach a umgeformt ist.

        a₁ = 17 - 7 = 10
        a₂ = 17 - 10 = 7

Die eine Seite ist 7 mm lang und die andere 10 mm.

Comments

Könnten Sie mir erklären wie der pq-Formel zu b 3/2 gekommen ist? :)
Sie sind der erste der mir viel mehr geholfen hat!

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\(\begin{aligned} & \phantom{=}\sqrt{\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}-70}\\ & =\sqrt{\frac{289}{4}-70}\\ & =\sqrt{\frac{289}{4}-\frac{280}{4}}\\ & =\sqrt{\frac{289-280}{4}}\\ & =\sqrt{\frac{9}{4}}\\ & =\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}\\ & =\frac{3}{2} \end{aligned}\)

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Ich habe bei √9/4 begonnen zu rechnen und da kam ein anderes Ergebniss.

Als erstes habe ich 9 / 4 = 2.25 gerechnet und dann die Wurzel gezogen.

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Und was hast du als Ergebnis bekommen? 1,5?

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Ja, nachdem ich die Wurzel gezogen habe, habe ich 1,5 als Ergebnis bekommen.

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Und was glaubst du wohl, wie viel drei Halbe (also 3/2) sind???

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@abakus Deine ?-Taste prellt.

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Nicht nur die ................................

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Als erstes habe ich 9 / 4 = 2.25 gerechnet und dann die Wurzel gezogen.

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Und worin besteht jetzt deine Unklarheit?

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Naja wenn ich die Wurzel ziehe kommt 1,5 raus. Warum steht denn unten 3/4.

Ich versuche es nur zu vestehen. :)

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Da steht nirgends 3/4.

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Ich werde Ihnen ein Screenshot schicken. (keine Möglichkeit eine zu schicken)

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Ich meine die letzten zwei Rechnungen.

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Welche letzten zwei Rechnungen?

Answer 2

Löse das Gleichungssystem

2(a+b)=34

a*b=70

(Die erste Gleichung kannst du natürlich auch sofort als a+b=17 schreiben)

Comments

Wie ist es zu denn a + b = 17 gekommen? :)

Answer 3

2(a+b)=34    und  a*b=70

a+b=17    und  a*b=70

   ==>   a*(17-a) = 70

<=>   17a - a^2 - 70=0

<=> a^2 + 17a + 70 = 0

pq-Formel  a = -10 oder a=7

Wegen a>0 also a=7 und b = 10

Probe:  2*(7+10) = 34  und 7*10=70

Einheiten mm und mm^2 ergänzen !

Comments

Könnten Sie mir es leichter erklären ich bin seit vielen Tagen verzweifelt und weiß nicht wie diese AUfgabe lösen soll. :(

Answer 4

Umfang      u=2·(a+b)=34mm

Halber Umfang:   a+b= 17mm

Flächeninhalt:      a*b = 70mm²

Du suchst zwei Zahlen, die multipliziert 70 ergeben und deren Summe 17 beträgt.

70=1*70=2*35=5*14=7*10

17=7+10

a=7mm, b=10mm

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Wie es mit Gleichungen geht, haben andere schon erklärt.