Wie löse ich diese Aufgabe mit dem Gauß- Einsetzverfahren?

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Lösungsmenge mit einem Lösungsverfahren

5x-6y=52
3x+7y=10

Answer 1

Hallo Berni,

Du meinst das Gauß-Verfahren. Das Einsetzverfahren wäre was anderes ..

Beim Gaußverfahren schreibt man die Koeffizienten der Gleichung in so einer Tabellenform hin. Die Variablen \(x\) und \(y\) braucht man dabei nicht mitschleppen:$$\begin{array}{cc|c} 5 & -6 & 52 \\ 3 & 7& 10 \end{array} $$Das Ziel ist es, durch Multplikation einzelner Zeilen und Division von zwei Zeilen auf der linken Seite eine Einheitsmatrix zu erzeugen. Also eine Matrix, bei der in der Diagonalen nur 1'en und sonst überall 0'en stehen.Dazu teilt man zunächst die erste Zeile durch den Koeffizienten oben links - also die \(5\)$$\begin{array}{cc|c} 1 & -6/5 & 52/5 \\ 3 & 7& 10 \end{array} $$Im nächsten Schritt zieht man ein Vielfaches dieser Zeile von allen anderen Zeilen ab; und zwar so, dass in der ersten Spalte nur 0'en stehen bleiben. Wir haben hier nur noch eine weitere Zeile - die Zweite. Also wird das 3'fache der 1.Zeile von der zweiten abgezogen$$\begin{array}{cc|c} 1 & -6/5 & 52/5 \\ 0 & 7 - 3\left( - 6/5\right)& 10- 3\left(52/5\right) \end{array} \\ \begin{array}{cc|c} 1 & -6/5 & 52/5 \\ 0 & 53/5& -106/5 \end{array} $$Jetzt kommt die nächste Spalte dran. Wir dividieren die zweite Zeile durch den ersten Koeffizienten, der vorne noch stehen geblieben ist - hier die \(53/5\)$$\begin{array}{cc|c} 1 & -6/5 & 52/5 \\ 0 & 1& -2 \end{array} $$Da haben wir schon die erste Lösung \(y=-2\). Jetzt gehen wir so weiter vor, wie oben. Von allen anderen Zeile (hier nur der ersten) wird ein Vielfaches der zweiten Zeile abgezogen, dass in der zweiten Spalte nur 0'en stehen bleiben. D.h. von der ersten Zeile wird das \(-6/5\)-fache der zweiten abgezogen$$\begin{array}{cc|c} 1 & -6/5- (-6/5) & 52/5 - (-6/5)\cdot (-2) \\ 0 & 1& -2 \end{array} \\ \begin{array}{cc|c} 1 &0 & 8 \\ 0 & 1& -2 \end{array}$$Und dann steht das Ergebnis da. Fügt man die Variablen \(x\) und \(y\) wieder hinzu, so steht dort$$x = 8 \\ y = -2$$mache die Probe!

Gruß Werner

Answer 2

Aloha :)

$$\left(\begin{array}{r}x & y & =\\\hline 5 & -6 & 52\\3 & 7 & 10\end{array}\right)\begin{array}{r}{}\\{-\text{Zeile }2}\\{}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}x & y & =\\\hline 2 & -13 & 42\\3 & 7 & 10\end{array}\right)\begin{array}{r}{}\\{:2}\\{}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}x & y & =\\\hline 1 & -6,5 & 21\\3 & 7 & 10\end{array}\right)\begin{array}{r}{}\\{}\\{-3\cdot\text{Zeile } 1}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}x & y & =\\\hline 1 & -6,5 & 21\\0 & 26,5 & -53\end{array}\right)\begin{array}{r}{}\\{}\\{:26,5}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}x & y & =\\\hline 1 & -6,5 & 21\\0 & 1 & -2\end{array}\right)\begin{array}{r}{}\\{+6,5\cdot\text{Zeile }2}\\{}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}x & y & =\\\hline 1 & 0 & 8\\0 & 1 & -2\end{array}\right)\begin{array}{r}{}\\{}\\{}\end{array}$$

Answer 3

Hallo berni,

glaube nicht alles, was man dir hier an angeblichen Notwendigkeiten andrehen will.

Beim Gaußverfahren schreibt man die Koeffizienten der Gleichung in so einer Tabellenform hin.

Kann man machen, muss man nicht.

Dazu teilt man zunächst die erste Zeile durch den Koeffizienten oben links

Kann man machen, muss man nicht. Hier ist es sogar kontraproduktion, weil man da Brüche erhält, wo vorher keine waren.

Bleiben wir beim Wesentlichen:

5x-6y=52
3x+7y=10

Da, wo jetzt noch 3x steht, soll nachher 0x stehen.

Das schafft man am einfachsten, wenn man die erste Gleichung mit 3 multipliziert und die zweite Gleichung mit (-5)

und die Summe der so erhaltenen Gleichungen als neue zweite Gleichung hinschreibt. Warum das günstig ist siehst du gleich:

Das 3fache der ersten Gleichung:

15x-18y=156

Das (-5)fache der zweiten Gleichung:

-15x-35y=-50

Die Summe beider Gleichungen:

0x -53y = 106  (oder noch kürzer: -53x = 106)

Das waren jetzt alles Nebenrechnungen, die man später sicher im Kopf macht (oder eben doch als Nebenrechnung aufschreibt).

Die neue Form des Gleichungssystems ist also jetzt (Gleichung 1 bleibt unverändert):

5x - 6y =52

   -53 y = 106

Damit kannst du y jetzt direkt ausrechnen, das Ergebnis in Gleichung 1 einsetzen und damit auch x bestimmen.

Solche schematischen Darstellungen wie in den beiden anderen Antworten sind durchaus möglich, aber nicht zwingend notwendig.