Ein etwas anderes Dreieck berechnen bitte um hilfe

Question

Hi, also stellt euch vor Ihr stellt Gläser in einem dreieck auf

also zB.:

erste reihe 4 Gläser

zweite Reihe 3 Gläser

dritte Reihe 2 Gläser

letzte Reihe 1 Glas

Oke... insgesamt also 10 Gläser.

Ich möchte gerne eine Formel die mir sagt, wieviele Gläser in der ersten Reihe stehen müssen, wenn ich insegesamt x Gläser aufstellen möchte.

Also zum Beispiel:

Ich brauche insgesamt 36 Gläser die Formel würde mir dann sagen : erste Reihe 8 Gläser.

Hab mich selbst schon dran versucht, steh aber irgendwie auf dem Schlauch und Schule ist leider doch schon eine Weile her. Wär also echt super, wenn mir jemand helfen könnte. Kurze erläuterung des Sinnes: Ich arbeite in der Gastro und eine solche Formel würde das aufstellen eines Sektempfanges (vor allem bei hohen personenzahlen sind gerne mal über 500) wesentlich vereinfach und beschleundigen.

Klar, dass in den meisten Fällen Kommazahlen rauskommen aber das gleicht sich ja durch logisches denken aus ;)

Vielen Dank an alle

Answer 1

Ich nummeriere die Reihen in umgekehrter Reihenfolge. Die 1. Reihe ist im Folgenden diejenige, die 1 Glas enthält, die 2. Reihe enthält 2 Gläser, die 3. Reihe 3 Gläser usw.

Eine derartige Anordnung enthält in ihrer n-ten Reihe also n Gläser.

Wenn die Anordnung aus n Reihen besteht, dann enthält sie also insgesamt

1 + 2 + 3 + ... + n

Gläser.

Die Anzahl der Gläser in einer derartigen Anordnung mit n Reihen ist also gleich der Summe der ersten n natürlichen Zahlen. Für diese Summe gibt es eine einfache Formel. Sie lautet:

1 + 2 + ... + n = n ( n + 1 ) / 2

Also ist die Anzahl G der Gläser in einer derartigen Anordnung mit n Reihen:

G = n * ( n + 1 ) / 2

(Beispiel: n = 4 Reihen => G = 4 * 5 / 2 = 10 Gläser)

Diese Formel muss nun nach n aufgelöst werden:

<=> 2 G = n * ( n + 1 )

<=> n ² + n = 2 G

Quadratische Ergänzung berechnen (hier: ( 1 / 4 ) ) und auf beiden Seiten addieren:

<=> n ² + n + ( 1 / 4 ) = 2 G + ( 1 / 4 )

Linke Seite mit Hilfe der ersten binomischen Formel als Quadrat schreiben:

<=> ( n + ( 1 / 2 ) ) ² = 2 G + ( 1 / 4 )

<=> n + ( 1 / 2 ) = ± √ ( 2 G + ( 1 / 4 ) )

<=> n = ± √ ( 2 G + ( 1 / 4 ) ) - ( 1 / 2 )

Für das vorliegende Problem ist die negative Wurzel irrelevant, da sie für positive G auf eine negative Zahl führt.

Die Lösung ist daher:

n = √ ( 2 G + ( 1 / 4 ) ) - ( 1 / 2 )

 

Beispiel:

Eine Anordnung mit G = 36 Gläsern besteht also aus

n = √ ( 2 * 36 + ( 1 / 4 ) ) - ( 1 / 2 ) = 8 Reihen

Und da in der n-ten Reihe immer n Gläser stehen, stehen in einer derartigen Anordnung aus 36 Gläsern in der letzten der 8 Reihen 8 Gläser.

Comments

Wow danke! Vielen vielen Dank echt super war wohl doch eine nummer zu hoch für mich :D