Hallo werte Mathematikfreunde,
ich habe hier ein delikates Problem und komme einfach auf keinen grünen Zweig. Bei einer Aufgabe zur Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten bin ich auf ein Integral gestoßen, dessen Lösung ich nicht nachvollziehen kann und hoffe, dass mir jemand dabei behilflich sein kann.
Im Prinzp geht es nur um den rot markierten Bereich und eben den, der davor steht.
\( \begin{aligned} c_{k} &=\frac{1}{2 \pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} f(t) e^{-i k t} d t \\ &=\frac{1}{2 \pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2}(t-\pi) e^{-i k t} d t \end{aligned} \)
\( =\boxed{\frac{1}{4 \pi}\left[-\frac{(t-\pi)}{i k} e^{-i k t}+\frac{1}{i k} \int e^{-i k t} d t\right]_{0}^{2 \pi} \quad }| \begin{array}{l}{\text { Dieser erste Schritt }} \\ {\text { macht mir zu schaffen. }}\end{array} \)
\( =\frac{1}{4 \pi}\left[-\frac{(t-\pi)}{i k} e^{-i k t}-\frac{1}{i^{2} k^{2}} e^{-i k t}\right]_{0}^{2 \pi} \)
\( =\frac{1}{4 \pi}\left[e^{-i k t}\left(\frac{1}{k^{2}}-\frac{(t-\pi)}{i k}\right)\right]_{0}^{2 \pi} \)
\( =\frac{1}{4 \pi}\left[(\cos 2 k \pi-i \sin 2 k \pi)\left(\frac{1}{k^{2}}-\frac{\pi}{i k}\right)-e^{0}\left(\frac{1}{k^{2}}+\frac{\pi}{i k}\right)\right] \)
\( =\frac{1}{4 \pi}\left[\left(\frac{1}{k^{2}}-\frac{\pi}{i k}\right)-\left(\frac{1}{k^{2}}+\frac{\pi}{i k}\right)\right] \)
\( =\frac{1}{4 \pi}\left[-2 \frac{\pi}{i k}\right]=-\frac{1}{2 i k}=\frac{i}{2 k} \)
Besten Dank schon mal und schöne Grüße.
