Hallo,
Du rechnest den Umsatz \(U\) aus \(U(x) = x \cdot p(x)\) und leitest ihn nach \(x\) ab. Wenn die Ableitung genau so groß ist, wie die Ableitung der Kostenfunktion, dann ist der Cournot'sche Punkt erreicht. Also$$p(x) = 10-x \\ U(x) = x \cdot p(x) = x(10 -x) = 10x - x^2 \\ U'(x) = 10 - 2x \\ K(x) = 10 + 2x \\ K'(x) = 2 $$Jetzt die Ableitungen gleich setzen$$\begin{aligned} U'(x_c) &= K'( x_c) \\ \implies 10 - 2x_c &= 2 \\ x_c &= 4 \end{aligned}$$Das ist die Cournot-Menge \(x_c\). Und der zugehörige Cournot-Preis ist $$p_c = p(x_c) = 10 - x_c= 6$$Die Gewinnkurve \(G(x)= U(x)-K(x)\) sieht dann so aus:
~plot~ x*(10-x)-(10+2x);x=4;[[-1|8|-1|7]] ~plot~
mit dem Maximum bei \(x_c=4\).
