analysis Hilfe benötigt

Question

Aufgabe:

a) Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e \) mit \( a, b, c, d, e \in \mathbb{R} \) gegeben. Geben Sie,
mit Begründung, eine Formel für \( f^{\prime} \) an. Verwenden Sie dazu die Ihnen bereits bekannten Ableitungsregeln.

b) Wir betrachten die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=3 x^{4}+16 x^{3}-6 x^{2}-1 \) Für welche \( c \in \mathbb{R} \) ist die durch die Gleichung \( y=48 x+c \) beschriebene Gerade eine Tangente an den Graphen von \( f ? \)

Ansatz:

Ich habe zunächst gedacht, dass ich die Extremstelle ermittle und schaue ob für f“(x) die Stelle 0 ist, was bedeuten würde, dass da die Steigung 0 ist oder?

Answer 1

a)

f(x) = a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x + e

f'(x) = 4·a·x^3 + 3·b·x^2 + 2·c·x + d

b)

f(x) = 3·x^4 + 16·x^3 - 6·x^2 - 1

f'(x) = 12·x^3 + 48·x^2 - 12·x = 48 --> x = -4 ∨ x = -1 ∨ x = 1

f(-4) = 48·(-4) + c --> c = -161

f(-1) = 48·(-1) + c → c = 28

f(1) = 48·(1) + c --> c = -36

Skizze:

~plot~ 3x^4+16x^3-6x^2-1;48x-161;48x+28;48x-36;[[-6|3|-400|300]] ~plot~

Comments

12·x^3 + 48·x^2 - 12·x = 48 → x = -4 ∨ x = -1 ∨ x = 1

@Tanne07

Vielleicht fragst du dich, wie man auf die drei Lösungen kommt.

Das x=1 eine Lösung ist, erkennst du daran, dass 12+48-12=48 ist. Wenn du dann eine Polynomdivision durchführst, erhältst du eine quadratische Gleichung, die du bestimmt lösen kannst.

Answer 2

a) ableiten f´(x)=m=4*a*x³+3*b*x²+2*c*x+d

Konstantenregel (a*f(x))´=a*f´(x)

Potenzregel (x^(k))´=k*x^(k-1)  mit x ungleich 0 für k<0

Summenregel f´(x)=f´1(x)+/-f´2(x)+/-...f´n(x)

Die Differentationsregeln ergeben sich durch die h-Methode f´(x)=m=(f(x+h)-(f(x))/h

ist den Differenzenquotient m=(y2-y1)/(x2-x1) mit x2>x1 und x2-x1=h

x1=xo=Stelle,wo die Steigung berechnet werden soll.

b) abgeleitet

f´(x)=m=12*x³3+48*x²-12*x   y=48*x+c  ist eine Gerade der Form y=f(x)=m*x+b

Steigung f´(x)=m=48

also 48=m=f´(xo)=...

0=12*x³+48*x²-12*x-48

Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) xo1=-4 xo2=-1 und xo3=1  sind die Stellen,wo die Tangentensteigung mt=48 ist

Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

Normalengleichung yn=fn(x)=-1/f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

xo=Stelle,wo die Tangente/Normale liegen soll.

Hier Infos per Bild,vergrößern und /oder herunterladen.

Text erkannt:

Trummere//Normente an \( f(x) \)
proverencentered and
perener
perenent
"
ser sear.

Comments

Warum willst du Normalen berechnen ?
Davon steht nichts in der Aufgabe

Gefordert sind zunächst einmal die Stellen
an denen die Steigung 48 ist
x = -4, -1, 1

Dann wird der Berührpunkt berechnet
f ( -4 ) = -353

( -4 | -353 )

Dieser Berührpunkt gilt auch für die Gerade
y = 48 * x + c
-353 = 48 * (-4) + c
c = -161

y = 48 * x - 161

---

Habe ich nur der Vollständigkeit angegeben,weil die Normalengleichung zu diesen Thema gehört und sie auf jeden Fall auch noch dran kommt.

---

Stell auch weiterhin Fragen oder gib Antworten.
So lernt man am meisten.
Dazu ist das Forum da.

mfg Georg

---

Das ganze scheibchenweise Lernen,dauert doch viel zu lange.

Es ist besser,wenn den Schülern das vernünftig erklärt wird und man ihnen durchgerechnete Beispielaufgaben zum durcharbeiten gibt,anstatt immer so eine Art Ratespiel zu veranstalten