Ebenschar parallel zu Koodinatenebenen

Question

Ich verzweifle gerade an einer Aufgabe in der analytischen Geometrie.

Es soll der Parameter \(u\) der Ebenen \(\mathrm{E}_u \colon \; \vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\2\\5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0\\u\\1-u^2 \end{pmatrix}\) so bestimmt werden, dass

(1) \(\mathrm{E}_u\) parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene ist

(2) \(\mathrm{E}_u\) parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene ist und

(3) \(\mathrm{E}_u\) die \(x_1\)-Achse enthält.

Ich weiß, dass für (1) die \(x_1x_3\)-Ebene \(x_2 = 0\) gilt und somit nur die \(x_2\)-Koordinaten relevant sind. Ich habe also die Gleichung \(2 + su = 0 \; \Leftrightarrow \; su = -2\) . Allerdings ist mir dann unklar, wie ich weiter vorzugehen habe, um \(u\) zu bestimmen. Theoretisch müsste \(s\) ja beliebig sein, da für jedes \(s\) die Ebene parallel zu dieser Koordinatenebene sein soll.

Laut den Lösungen in meinem Buch soll hier \(u = 0\) sein, allerdings sind dort keine Hinweise oder Rechnungen angegeben, wie man auf den Wert kommt.

Bei (3) müsste man ja im Prinzip die Gerade \(\mathrm{g} \colon \; \vec{x} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\) mit der Ebene \(\mathrm{E}_u\) gleichsetzen.

In einer weiteren Teilaufgabe soll dann noch die Schnittgerade von \(\mathrm{E}_u\) und der Ebene \(\mathrm{F} \colon \; 3x_1 + 5x_2 - x_3 = 7\) bestimmt werden. Nach längerem Rumprobieren bin ich auch hier zu keinem vernünftigen Ergebnis gekommen.

Kann mir vielleicht jemand helfen und ein paar Lösungsansätze (gerne auch mit Rechnung) geben?

Answer 1

Hallo

 eu soll ja parallel zu x2=0 sein, also muss x2=const sein deshalb muss u=0 sein,

für x3=0 muss  entsprechend 1-u^2=0 sein

damit die x Achse darin liegt muss es ein s  und u geben, so dass s*u=-2 und s(1-u^2)=-5.

für 3 schreib  Eu in Gleichungsform. oder die Ebene in Parameterform, oder wie schneidest du sonst Ebenen? soll u allgemein bleiben oder eine der von oben sein?

Gruß lul

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort! Das hat mir schon sehr weitergeholfen. Jetzt macht es für mich auch Sinn bei (1) bis (3). Ich habe da einfach einen Denkanstoß gebraucht ;-) .

Normalerweise schneide ich eine Gerade mit einer Ebene entweder in der Koordinatenform durch Einsetzen des variablen Punktes oder ganz klassisch durch Gleichsetzen in den Parameterformen (Ich bin mit beiden Methoden vertraut).

Zur Frage: In der Teilaufgabe mit der Bestimmung der Schnittgeraden soll weiterhin mit der allgemeinen Ebenenschar \(\mathrm{E}_u\) gerechnet werden.

Answer 2

siehe Mathe-Formelbuch,Analytische Geometrie,Sonderfälle der Ebene

Koordinatengleichung der Ebene E: a*x+b*y+c*z+d=0

parallel zur x1-x3-Ebene → x-z-Ebene

hier a=c=0  bleibt b*y+d=0

Normalenvektor der Ebene somit n(0/b/0)

n(0/b/c) steht senkrecht auf u(1/0/0) und v(0/u/(1-u²)  Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz=0

1) u*n=1*nx+0*ny+0*nz=0

2) v*n=0*0+u*0+(1-u²)*c=0

Satz vom Nullsprodukt c=a*b  hier c=0 wenn a=0 oder b=0 oder a=b=0

2) parallel x1-x2-Achse ist x-y-Achse  

a=b=0  ergibt c*z+d=0  Normalenvektor n(0/0/c)

1) u*n=ux*nx+uy*ny+uz*nz=0

2) v*n=vx*nx+vy*vy+vz*nz=0

zu 3) Ebene geht durch die x-Achse

a=d=0  ergibt b*y+c*z=0  hier n(0/b/c)

Tipp:Besorge dir privat ein Mathe-Formelbuch aus einem Buchladen.

Ich habe hier 10 Sonderfälle der Ebenengleichung E: a*x+b*y+c*z+d=0