Gegeben sind eine lineare Funktion und eine Funktionsgleichung

Question

Hallo, ich habe folgende Frage.

Gegeben sind die lineare Funktion f(x)= ax+b , x≤0, a≠0 und die Funktion g mit der Funktionsgleichung g(x)= 0,5e^-2x ,x≥0

1: Berechnen Sie die Parameter a und b der Funktion f so, dass die Graphen von f und g an der Stelle x=0 knickfrei ineinander übergehen.

Muss ich die beiden Gleichungen dafür gleichsetzten und dann nach a und b auflösen?

Comments

Knickfrei gehen die Funktionen dann ineinander über, wenn f'(x) = g'(x)

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Bedeutet also, dads ich beide ableiten muss, also:

f'(x) = g'(x)

a = -e^ -2×

Wie komme ich dann auf b?

Answer 1

f(x) soll dann die Tangende an den Graphen von g(x) an der Stelle a = 0 sein.

Dann braucht man

a = 0

g(a) = 0.5

g'(a) = -1

Und damit lautet die Tangente

f(x) = g'(a) * (x - a) + g(a)

f(x) = -1 * (x - 0) + 0.5 = -x + 0.5

Skizze

~plot~ 0.5*exp(-2x);0.5-x;[[-2|2|-1.5|1.5]] ~plot~

Answer 2

Du musst die Funktionen und die ersten Ableitungen gleich setzen. Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Comments

Okay, ich verstehe schon was gemeint ist, aber ich habe wirklich keinen Plan, wie ich das dann auflösen soll...

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$$ f(0) = b = g(0) = \frac{1}{2} $$ und

$$ f'(0) = b = g'(0) = -1 - 2 = -3  $$

Answer 3

Bedingung für einen stoßfreien Übergang:

1) beide Funktionswerte sind  gleich f(x)=g(x)

2) beide Funktionen haben die selbe Steigung m=a=g´(x)

Das ist dann die Tangentengleichung an der Stelle xo=0

Tangentengleichung ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

f(x) ist hier g(x)=0,5*e^(-2*x) abgeleitet g´(x)=-1*e^(-2*x)  mit xo=0

g(0)=0,5*e^(-2*0)=0,5*1=0,5

g´(xo)=g´(0)=-1*e^(-2*0)=-1*1=-1

eingesetzt

ft(x)=-1*(x-0)+0,5=-1*x+1*0+0,5

yt=ft(x)=-1*x+0,5 also a=m=-1 und b=0,5

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