Wenn du keinen Ansatz hast, lass dir die Funktion doch einfach mal plotten:
~plot~ ((x/pi)^3-(x/pi))*(x>(-pi))*(x<(pi)) + (((x-2*pi)/pi)^3-((x-2*pi)/pi))*(x>(pi))*(x<(3pi)) + (((x+2*pi)/pi)^3-((x+2*pi)/pi))*(x>(-3*pi))*(x<(-pi)) ~plot~
Man sieht schön, dass die Funktion ungerade ist (also f(-x) = -f(x)), d.h. die ganzen Koeffizienten der Kosinus-Terme sind =0. Wir müssen also nur die Koeffizienten der Sinus-Terme berechnen. Die Formel für diese lautet:
$$ b_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(kx) ~\textrm{d}x $$
Rausbekommen solltest du:
$$ b_k = \frac{12 \cos(k \pi)}{\pi^3 k^3} = (-1)^k \frac{12}{\pi^3 k^3} $$
Damit ist die Fourier-Reihe:
$$ f(x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{12}{\pi^3 k^3} \sin(k x) $$
