Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente

Question

Ich habe ein Problem bei einer Aufgabe in meinem Mathebuch und hoffe, dass mir jemand von euch dabei helfen kann. Die Aufgabe lautet :

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P(x₀ | f(x₀)).

a) f(x) = 0,5x² und x₀= 4

b) f(x) = 4x^4-x² und x₀= 1

c) f(x) = 0,5x³-x und x₀= -1

d) f(x) = 2x^4+4x³-5x² und x₀= 0,5

Kann mir jemand diese Aufgabe (wenn möglich mit Rechenweg) erklären?

Danke schon mal im voraus :)

Answer 1

Aloha :)

Die Gleichung der Tangente an einen Punkt \((x_0|f(x_0))\) hat allgemein die Form:$$t_{x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$Du brauchst also nur den Funktionswert \(f(x_0)\) und die Ableitung \(f'(x_0)\) an der Stelle \(x_0\), um die Tangente hinschreibein zu können.

a) \(f(x)=0,5x^2\quad;\quad x_0=4\)$$f'(x)=x\quad;\quad f(x_0)=8\quad;\quad f'(x_0)=4$$$$\Rightarrow\quad t_4(x)=8+4\cdot(x-4)=4x-8$$

b) \(f(x)=4x^4-x^2\quad;\quad x_0=1\)$$f'(x)=16x^3-2x\quad;\quad f(x_0)=3\quad;\quad f'(x_0)=14$$$$\Rightarrow\quad t_1(x)=3+14\cdot(x-1)=14x-11$$Probiere die anderen Teilfaufgaben mal bitte alleine. Falls du dabei Hilfe brauchst, frag einfach nochmal nach ;)

Comments

vielen Dank!

Answer 2

Kann mir jemand diese Aufgabe (wenn möglich mit Rechenweg) erklären?

Ja, hier eine mögliche Formel für die Tangenten aus allen Aufgaben: $$y=f'(x_0)\cdot\left(x-x_0\right)+f(x_0)$$ Das funktioniert sehr schnell und ist mathematisch sehr gut begründbar und zukunftsweisend!

Answer 3

Hallo

 für die Steigung brauchst du erstmal die Ableitung, da setze du das gegebene x ein, dann hast du die Gerade y+f'(x_0)*x+b

b bestimmst du indem due den Tangentenponkt also x=x_0 y=f(x_0) einsetzt.

Beispiel c)  f(x) = 0,5x³-x und x0= -1, f'(x)=1,5x^2-1 ; f'(-1)=0,5,  f(-1)=0,5

deshalb Tangente y=0,5x+b einsetzen von Punkt 0,5=-0,5+b Farad b=1 also Tangente y=0,5x+1

die Methode ist für alle anderen dasselbe, also mach dich dran.

Gruß lul

Answer 4

a) f(x) = 0,5x² und x0= 4

Tangente
f ( x ) = t ( x ) | Koordinaten gleich
f ´ ( x ) = t ´( x )  | Steigung gleich

f ( 4 ) = 8
f ´( x ) = x
f ´( 4 ) = 4

t ( x ) = m * x + b

t ( x ) = 4 * x + b
t ( 4 ) = 4 * 4 + b = 8
16 + b = 8
b = - 8

t ( x ) = 4 * x - 8

Answer 5

Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

xo=Stelle,wo die Tangente liegen soll

f(x)=0,5*x² abgeleitet f(x)=1*x=x

f(xo)=f(4)=0,5*4²=0,5*16=8

f´(xo)=f´(4)=4

ft(x)=4*(x-4)+8=4*x-16+8

ft(x)=4*x-8

die anderen Aufgaben gehen genau so

hier Infos per Bild,vergrößern und /oder herunterladen

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