Riemann Grenzwert lösen

Question

Hey liebe Leute.

wie kann ich den Grenzwert hier mit einer Riemannschen Summe lösen?
(x_n)_n∈ℕ>0
x_n= n* (1/n²+1/(n+1)²+...+ 1/(2n-1)²)

Comments

Hat sich durch die Lösung erledigt.

Answer 1

Betrachte die Funktion \( f(x) = \frac{1}{(1+x)^2} \) und stelle dafür die Riemannschen Summen auf, im Intervall \( [0,1] \) mit Intervallbreite von \( \frac{1}{n} \). Dann gilt $$  \int_0^1 \frac{1}{(1+x)^2} dx = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{ \left( 1+ \frac{k}{n} \right)^2} = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{(n+k)^2} $$

Das Integral kann man aber berechnen da die Stammfunktion \( -\frac{1}{x+1} \) ist. Damit das Ergebnis $$ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{(n+k)^2} = \frac{1}{2} $$