Hallo,
ich habe eine Aufgabe zu Fourierreihen mit einer ungeraden Funktion, deshalb muss ich nur b_k berechnen (zumindest habe ich das in der Vorlesung so verstanden)... Allerdings scheint mir bei der Berechnung des Integrals irgentwo ein Fehler zu unterlaufen sein... vielleicht kann jemand mal drüber schauen und mir sagen wo er ist :D Vielen Dank schonmal im Voraus:
(P.I. Soll für partielle Integration stehen)
Text erkannt:
\( =\frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi}\left(\left(\frac{t}{\pi}\right)^{3}-\frac{t}{\pi}\right) \frac{\sin (u t) d t}{v} \quad u^{\prime}=\frac{3}{-3} t^{2}-\frac{1}{\pi} \)
\( \int \limits_{-\pi}^{T} u \cdot v^{\prime}=[u v]_{-\pi}^{\pi}-\int \limits_{-\pi}^{\pi} u^{\prime} \cdot v \quad v=-\cos (u+1) \frac{1}{k} \)
\( \stackrel{P}{=} \frac{1}{\pi}\left[\left(\frac{t^{3}}{\pi^{3}}-\frac{t}{\pi}\right) \cdot\left(-\cos (k t) \frac{1}{k}\right)\right]_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{3 \pi^{2}}{\pi^{3}}-\frac{1}{\pi}\right) \cdot\left(-\cos (L t) \frac{1}{k}\right) d t \)
\( =\frac{1}{\pi k} \int \limits_{-\pi}^{\pi} \underbrace{\left(\frac{3 t^{2}}{\pi^{3}}-\frac{1}{\pi}\right) \cos (k t) d t}{u} \underbrace{v}_{v^{\prime}} \quad u^{\prime}=\frac{6 t}{\pi^{3}} \)
\( \begin{aligned} \frac{p I}{\pi k}\left[\left(\frac{3^{2}}{\pi^{3}}-\frac{1}{\pi}\right) \cdot \sin (u t) \frac{1}{u}\right]_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{\pi k} \int \limits_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{6 t}{\pi^{3}}\right) \cdot \sin (u t) \frac{1}{k} \\=-\frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} \frac{6 t}{\pi^{3}} \sin (16 t) d t & u^{2}=\frac{6}{\pi^{3}} \\ v &=-\cos (t t) \frac{1}{k} \end{aligned} \)
\( =-\frac{1}{\pi h^{2}}\left[\frac{6 t}{\pi^{3}} \cdot\left(-\cos (u t) \frac{1}{h}\right)\right]_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{\pi h^{2}} \int \limits_{-\pi}^{\pi} \frac{6}{\pi^{3}}\left(-\cos (u t) \frac{1}{k}\right) d t \)
\( =\frac{6}{\pi}_{\pi}^{\pi} \cos (n t) d t \)
\( =\frac{6}{\pi^{4} h^{3}}\left[\sin (u t) \frac{1}{h}\right]_{-\pi}^{\pi}=0 \)
Text erkannt:
\( \left.=\frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{t}{\pi}\right)^{3}-\frac{t}{\pi}\right) \sin (4 t) d t \)
\( \frac{3}{\pi^{3}} t^{2}-\frac{1}{\pi} \)
\( \cos (1+1) \frac{1}{k} \)
\( \stackrel{P}{=} \frac{1}{\pi}\left[\left(\frac{t^{3}}{\pi^{3}}-\frac{t}{\pi}\right) \cdot\left(-\cos (k t) \frac{1}{k}\right)\right]_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{3 t^{2}}{\pi^{3}}-\frac{1}{\pi}\right) \cdot\left(-\cos (k t) \frac{1}{k}\right) d t \)
\( =\frac{1}{\pi k} \int \limits_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{3 t^{2}}{\pi^{3}}-\frac{1}{\pi}\right) \cos (k t) d t \)
\( 6 t \)
\( \stackrel{p_{-}}{=} \frac{1}{\pi k}\left[\left(\frac{3 k^{2}}{\pi^{3}}-\frac{1}{\pi}\right) \cdot \sin (h t) \frac{1}{4}\right]_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{\pi k} \int \limits_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{6 t}{\pi^{3}}\right) \cdot \sin (L t) \frac{1}{k} \)
\( =-\frac{1}{\pi^{2}} \int \limits_{-\pi}^{\pi} \frac{6 t}{\pi^{3}} \sin (14 t) d t \)
\( \stackrel{p_{1}}{=}-\frac{1}{\pi_{h}^{2}}\left[\frac{b t}{\pi^{3}} \cdot\left(-\cos \left(u_{1}\right) \frac{1}{i}\right)\right]_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{\pi k^{2}} \int \limits_{-\pi}^{\pi} \frac{6}{\pi^{3}}\left(-\cos \left(u_{t}\right) \frac{1}{k}\right) d t \)
\( =\frac{6}{\pi / 4} \int \limits_{-\pi}^{\pi} \cos (u t) d t \)
\( =\frac{6}{\pi^{4} h^{3}}\left[\sin (h t) \frac{1}{h}\right]_{-\pi}^{\pi}=0 \)
