Gleichmäßige Konvergenz und gleichmäßige Stetigkeit

Question

ich habe mich folgendes gefragt:

Wenn ich eine Folge f_n(x)⊂ F(ℝ) gleichmäßig stetiger Funktionen habe, und diese gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiert, ist f dann auch notwendigerweise gleichmäßig stetig auf ganz ℝ?

Ich weiß bereits, dass die Aussage zutrifft, falls man nur Stetigkeit von f  fordert. (selbst wenn die fn(x) auch "nur" stetig sind)

Ich dachte vielleicht gibt es ein Gegenbeispiel...mein Ansatz wäre eine Funktionsfolge zu finden (mit den Bedingungen von oben), die gleichmäßig gegen 1/x konvergiert... leider ist mir das bisher nicht gelungen...Vielleicht findet sich dann eben doch ein Beweis für die obige Aussage...

Ich würde mich freuen, wenn ihr mir da weiter helfen könntet.

mit freundlichen Grüßen Nelly.

Answer 1

Die Aussage ist richtig. Sei \( (f_n) \) eine Folge gleichmäßig stetiger Funktionen die gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiere.

Beh. f ist gleichmäßig stetig, d.h.

$$\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0~\forall x,y\in \mathbb{R} \colon|x-y|<\delta\implies |f(x)-f(y)| < \varepsilon $$

Sei \( \varepsilon > 0 \) beliebig, da \( f_n \to f \) gleichmäßig, existiert ein \( k \in \mathbb{N} \) mit

$$ \forall x \in\mathbb{R}: |f_k(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{3} $$

(man kann \(k\) sogar so wählen, dass es für alle \( k' \ge k \) gilt). Dieses \( f_k \) ist ja aber auch gleichmäßig stetig, also finden wir ein \( \delta > 0 \) s.d.

$$ \forall x,y \in \mathbb{R}: |x-y| < \delta \implies |f_k(x) - f_k(y)| < \frac{\varepsilon}{3} $$

Seien jetzt \( x,y \in \mathbb{R} \) mit \( |x-y| < \delta \), dann gilt:

$$ \begin{aligned} |f(x) - f(y)| &= |f(x) - f_k(x) + f_k(x) - f_k(y) + f_k(y) - f(y)| \\ &\le |f(x) - f_k(x)| + |f_k(x) - f_k(y)| + |f_k(y) - f(y)| \\ &= |f_k(x) - f(x)| + |f_k(x) - f_k(y)| + |f_k(y) - f(y)| \\ &< \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3}+ \frac{\varepsilon}{3}\\&=\varepsilon \end{aligned} $$