punktweise/gleichmäßige Konvergenz

Question

Ich soll beweisen, ob die Funktionsfolge fn=e^{-(x-n)^2} gleichmäßig und/oder punktweise konvergiert. Bei der punktweisen Konvergenz habe ich zuerst die Grenzfunktion f berechnet, welche f(x)=1 für x=n und f(x)=0 für x ungleich n ist. Somit konvergiert die Folge zumindest punktweise. Leider weiß ich nicht, wie ich beweisen soll ob die Funktionsfolge auch gleichmäßig konvergiert oder eben nur punktweise.

Vielen Dank!

Comments

Die Definition der Grenzfunktion f darf nicht von n abhängen, also es muss f(x) ausschließlich mit x definiert werden. Allerdings ist Deine Beobachtung, dass f_n(n)=1 ist, für die Aufgabe relevant. Also

1. Korrigiere Deine Grenzfunktion

2. Überlege, was Deine Beobachtung für die gleichmäßige Konvergenz bedeutet.

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okay, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann müsste f(x)=0 für alle x gelten, da der Grenzwert von fn für n gegen unendlich gleich 0 ist. Und dann könnte man für die gleichmäßige Konvergenz argumentieren, dass nicht für alle x gilt, dass |fn(x)-f(x)|<ε ist?

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Man sollte es noch etwas genauer sagen: Wenn man in der Definition der gleichmäßigen Konvergenz \(\epsilon=0.5\) wählt (z.B.), dann gilt für alle \( n \in \N\)

$$|f_n(n)-f(n)|=1 > \epsilon$$

so dass sich die Bedingung der Definition nicht erfüllen lässt.

PS: Die Aufgabe ist eigentlich nur korrekt gestellt, wenn auch ein Definitionsbereich für die f_n angegeben ist. Die Eigenschaft der glm Konvergenz hängt nämlich davon ab. Hier bin ich vom Definitionsbereich \(\R\) ausgegeangen