Wie zeigt man die punktweise und gleichmäßige Konvergenz

Question

Aufgabe:

f_n(x)=\( \frac{|x^3+2xn-n|}{n^2} \) mit x∈[0;\( \frac{3}{2} \)]

Nun hätte ich den Limes:

f(x) = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) f_n(x) = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{|x^3+2xn-n|}{n^2} \) = ∞

Somit müsste diese Funktionenfolge doch punktweise Konvergent sein (oder)?

Problem/Ansatz:

Wie kann ich jetzt die gleichmäßige Konvergenz zeigen? |f_n(x) - f(x)|<ε ist mir klar (und das muss beschränkt sein), aber ich habe das Prinzip von punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz noch nicht ganz verstanden. Schon mal Danke für eure Hilfe.

Comments

Es ist \( f_n(0) = 1/n \to 0 \,(n \to \infty) \). Wie kommst du auf unendlich für alle x?

Ich würde eher sagen, dass \(f_n(x) \to 0 \) für alle \(x \in [0,3/2] \)

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Vielen Dank - du hast natürlich vollkommend recht, es stimmt \(f_n(x) \to 0 \) für alle x ∈[0;\( \frac{3}{2} \)]. Da ist mir bei der Bearbeitung der Formatierung wohl ein Fehler passiert (copy and paste)! Der lim _n→∞ \( \frac{|x^3+2xn-n|}{n^2} \) = 0

Answer 1

Hallo,

es gilt also \(f_n \to 0\) punktweise. Wir haben weiter mit \(D=[0,3/2] \)

\( \sup_{x\in D} |f_n(x)-0| \leq \sup_{x\in D} 1/n^2 \cdot (|x^3+2xn| + n) \leq 1/n^2 \cdot ((\frac32)^3+4n) \overset{(n\to\infty)}{\to} 0 \)

Da gleichmäßige Konvergenz äquivalent zur Konvergenz in der Supremumsnorm ist, gilt \(f_n\to 0\) gleichmäßig.

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Vielen Dank für deine Hilfe!!

Answer 2

Aloha :)

Du musst zeigen, dass gilt:$$\left|f_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon\quad\text{für alle \(n\in\mathbb N\) mit \(n\ge n_0\)}$$

Bei punktweiser Konvergenz hängt \(n_0=n_0(x)\) vom Punkt \(x\) ab.

Bei gleichmäßiger Konvergenz kann \(n_0\) unabhängig von \(x\) gewählt werden.

Gleichmäßige Konvergenz ist also strenger, die punktweise Konvergenz folgt aus ihr.

Bei der Funktionenfolge$$f_n(x)=\frac{|x^3+2xn-n|}{n^2}\quad;\quad x\in\left[0;\frac32\right]$$vermuten wir die Grenzfunktion \(f(x)=0\). Wir prüfen das nach:$$\left|f_n(x)-f(x)\right|=\left|\frac{x^3+2xn-n}{n^2}\right|=\left|\frac{x^3}{n^2}+\frac{2x-1}{n}\right|\le\left|\frac{x^3}{n^2}\right|+\left|\frac{2x-1}{n}\right|$$$$\phantom{\left|f_n(x)-f(x)\right|}\le\left|\frac{\left(\frac32\right)^3}{n^2}\right|+\left|\frac2n\right|<\frac{4}{n^2}+\frac2n\stackrel{(n\ge2)}{\le}\frac2n+\frac2n=\frac4n<\varepsilon\quad\text{für }n>\operatorname{max}\left\{\frac{4}{\varepsilon};2\right\}$$Wir können also \(n_0\) unanhängig von \(x\) angeben, sodass die Funktionenfolge \(f_n(x)\) gleichmäßig (und damit auch punktweise) gegen \(f(x)=0\) konvergiert.

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Danke für deine präzise Ausführung