Supremumsnorm bei Folgen

Question

Sei U der Raum der finiten Folgen, welcher mit der Supremumsnorm ||·|| _∞ versehen wird.

Betrachtet wird die Nullfolge z = (z_k )_k∈ℕ , z_k = (-1)^k (k-1)^-2 . Sei weiterhin ε = 10^-4 .

Angeben werden soll ein x∈U, sodass gilt ||x-z|| _∞ <ε.

Ich weiß leider gar nicht, was ich tun soll.

Vielen Dank im Voraus für Hilfe!

Comments

Hallo,

"Ich weiß leider gar nicht, was ich tun soll."

Was meinst Du damit?

Schreib doch mal hierhin die Definition von \(\|x-z\|_{\infty}\).

Die beste Möglichkeit, das "klein" zu machen, wäre x=z zu wählen. Warum geht das nicht? Wie könnte man dann möglichst viel von dieser "Idee" retten?

Gruß

---

Wenn man x=z wählt, erhält man ||0|| _∞ = 0 < 10^-4 .

Dies ist jedoch eine falsche Aussage.

Nur vile weiter bringt mich das nicht.

---

Was ist an der Aussage falsch? 0 ist doch echt kleiner als 0,0001?

Liegt z in U? Was ist denn überhaupt eine finite Folge?

---

U ist die Vereinigung von U_d .

U_d = {x=(x_n ) _n∈ℕ ∈ c: x_n = 0 für alle n> d}, wobei d∈ℕ und c der Raum der konvergenten Folgen ist.

Answer 1

Mit den Tipps aus den Kommentaren ist doch schon viel erledigt.

Wenn du als finite Folge x eine nimmst, die bis zum n-ten Glied mit z

übereinstimmt und danach alles 0en hat, dann ist  x-z eine Folge, deren

n ersten Glieder 0en sind und danach kommen mit

umgekehrten Vorzeichen die Glieder von z.

Die Beträge dieser Folgenglieder sind sind monoton fallend, das

Supremum ist also 1/(n+1-1)^2 = 1/n^2.

Damit   1/n^2 < eps gilt, muss

              n > 1/√eps  sein, für den gegebenen Wert also n>10^2 = 100.

Wähle also z.B. die Folge x mit

                                  zk für k≤100
                     xk = 
                                   0 für k>100      

Comments

Ok, das ist mir verständlich.

Vielen Dank