Hallo Leute,
folgende eigtl. schöne und nicht zu schwierige Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten.
Sei $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto -x^3 + 3x^2 + 2x - 2$$ und $$x_0 \in \mathbb{R}$$. Finde $$a \in \mathbb{R}$$ und $$g(x) \in o(|x - x_0|)$$ mit $$f(x) = f(x_0) + a \cdot (x - x_0) + g(x)$$.
Der Zusammenhang mit der Ableitung ist mir klar und auch die Landausymbole sind mir bekannt. Was dieser Ausdruck also bedeutet und "macht" ist mir klar.
Ich forme zunächst um und es ergibt sich:
$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0} = a + \frac{g(x)}{x - x_0}$$
Ich setze meine Funktionsvorschrift ein und bekomme raus (tut mir leid, wenn sich da jetzt jemand die Mühe machen muss und das von Hand nachrechnen und kontrollieren muss ;)
$$\frac{-x^3 + x^3_0 + 3(x^2 - x_0^2) + 2(x - x_0)}{x - x_0} = \frac{-x^3 + x_0^3}{x - x_0} + 3(x + x_0) + 2$$
Aus den letzten beiden Termen ergibt sich schon so langsam die Ableitung. Wenn ich $$x$$ gegen $$x_0$$ gehen lasse, sollte ich ja aus $$3(x + x_0) \quad 6x_0$$ machen können. Zusammen mit den $$+2$$ am Ende fehlt mir nur noch der vordere Teil der Ableitung.
$$\frac{-x^3 + x_0^3}{x - x_0}$$ Dieser scheint jedoch unmöglich zum Umformen sein. Ich habe alles versucht, ich finde alle hoch 3 Potenzen über eine Differenz oder Summe einfach nur schrecklich. Vlt. hat ja jemand einen Anstoß.
Insgesamt zu diesem Beweis: Am Ende sollte für $$a$$ doch die Ableitung rauskommen. Aber was meinen die Aufgabensteller mit "... finden sie $$g(x)$$...". Ich habe doch jetzt $$\frac{g(x)}{x - x_0}$$ auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens stehen und dieser Term geht nach den Regeln der Landausymbole ja gegen 0 für $$x$$ gegen $$x_0$$. Wie soll ich also ein $$g(x)$$ finden ?
Liebe Grüße und schon mal
Felix
PS: Tut mir leid für die vielen Zeilenumbrüche. Ich kann zwar Latex, aber irgendwie komme ich noch nicht ganz mit diesem Editor hier zurecht.