Lineare Approximation Ableitung

Question

Hallo Leute,

folgende eigtl. schöne und nicht zu schwierige Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten.

Sei $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto -x^3 + 3x^2 + 2x - 2$$ und $$x_0 \in \mathbb{R}$$. Finde $$a \in \mathbb{R}$$ und $$g(x) \in o(|x - x_0|)$$ mit $$f(x) = f(x_0) + a \cdot (x - x_0) + g(x)$$.

Der Zusammenhang mit der Ableitung ist mir klar und auch die Landausymbole sind mir bekannt. Was dieser Ausdruck also bedeutet und "macht" ist mir klar.

Ich forme zunächst um und es ergibt sich:

$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0} = a + \frac{g(x)}{x - x_0}$$

Ich setze meine Funktionsvorschrift ein und bekomme raus (tut mir leid, wenn sich da jetzt jemand die Mühe machen muss und das von Hand nachrechnen und kontrollieren muss ;)

$$\frac{-x^3 + x^3_0 + 3(x^2 - x_0^2) + 2(x - x_0)}{x - x_0} = \frac{-x^3 + x_0^3}{x - x_0} + 3(x + x_0) + 2$$

Aus den letzten beiden Termen ergibt sich schon so langsam die Ableitung. Wenn ich $$x$$ gegen $$x_0$$ gehen lasse, sollte ich ja aus $$3(x + x_0) \quad 6x_0$$ machen können. Zusammen mit den $$+2$$ am Ende fehlt mir nur noch der vordere Teil der Ableitung.

$$\frac{-x^3 + x_0^3}{x - x_0}$$ Dieser scheint jedoch unmöglich zum Umformen sein. Ich habe alles versucht, ich finde alle hoch 3 Potenzen über eine Differenz oder Summe einfach nur schrecklich. Vlt. hat ja jemand einen Anstoß.

Insgesamt zu diesem Beweis: Am Ende sollte für $$a$$ doch die Ableitung rauskommen. Aber was meinen die Aufgabensteller mit "... finden sie $$g(x)$$...". Ich habe doch jetzt $$\frac{g(x)}{x - x_0}$$ auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens stehen und dieser Term geht nach den Regeln der Landausymbole ja gegen 0 für $$x$$ gegen $$x_0$$. Wie soll ich also ein $$g(x)$$ finden ?

Liebe Grüße und schon mal

Felix

PS: Tut mir leid für die vielen Zeilenumbrüche. Ich kann zwar Latex, aber irgendwie komme ich noch nicht ganz mit diesem Editor hier zurecht.

Answer 1

Aloha :)

Ich fürchte, du machst diese Aufgabe maximal kompliziert.

$$f(x)=f(x_0+(x-x_0))$$$$\quad=-(x_0+(x-x_0))^3+3(x_0+(x-x_0))^2+2(x_0+(x-x_0))-2$$$$\quad=-(x_0^3+3x_0^2(x-x_0)+3x_0(x-x_0)^2+(x-x_0)^3)$$$$\quad\phantom{=}+3(x_0^2+2x_0(x-x_0)+(x-x_0)^2)$$$$\quad\phantom{=}+2(x_0+(x-x_0))-2$$$$\quad=\underbrace{(-x_0^3+3x_0^2+2x_0-2)}_{=f(x_0)}+\underbrace{(-3x_0^2+6x_0+2)}_{=a}(x-x_0)$$$$\quad\phantom{=}+\underbrace{(-3x_0+3)(x-x_o)^2-(x-x_0)^3}_{=g(x)}$$

Comments

Oh vielen Dank, ja so ist das tausend mal praktischer.

Aber wie "sieht" man sowas... Die ganze Aufgabe war ja eher dazu gedacht eine Ableitung zu approximieren, weswegen ich auf der linken Seite eben mal den Differenzenquotient gebildet habe. Gibt es denn gar keine Möglichkeit mit den Differenzenquotient weiterzurechnen, um dann so darauf zu kommen ? Weil deine Variante wäre mir niemals in den Kopf gekommen :)

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Es gibt die sogenannte Taylor-Entwicklung:$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\,(x-x_0)+\frac{1}{2!}f''(x_0)\,(x-x_0)^2+\frac{1}{3!}f'''(x_0)\,(x-x_0)^3+\cdots$$Die bricht in deiner Aufgabe bei der 4-ten Ordnung ab, weil die vierte Ableitung der Funktion Null ist. Damit kannst du die Ableitungen nutzen.

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Alles klar, Taylor kenne ich, durften wir leider nur nicht nutzen. Trotzdem danke ich gebe mich mit der ersten Antwort zufrieden :)

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$$\frac{-x^3 + x_0^3}{x - x_0}$$Dieser scheint jedoch unmöglich zum Umformen sein.

irgendwann im Laufe seines "Lebens mit Algebra" lernt man, dass \((a-b)\) immer(!) ein Faktor von \((a^n-b^n)\) mit \(n \in \mathbb N\) ist. Hier: $$\frac{-x^3 + x_0^3}{x - x_0} = -\frac{x^3 - x_0^3}{x - x_0} = -(x^2 + xx_0 + x_0^2)$$Allgemein gilt$$a^n - b^n = (a-b) \cdot \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k}b^{k}$$

Aber wie "sieht" man sowas...

... mit Erfahrung ;-)

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Ganz viel Übung und lange Erfahrung... ja das kann ich mir vorstellen :)