Aufstellen von Funktionsgleichungen hilfe

Question

Habe von meinem Lehrer diese Aufgabe bekommen und weiß gar nicht wie ich die die aufgabe lösen soll. Kann mir jemand helfen und detalliert sagen wie ich vorgehen soll und wie man die aufgabe grundlegend löst.

Das wäre die Aufgabe.

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades geht durch den Punkt P(1/-1) hat im

Ursprung eine waagerechte Tangente und an der Stelle x=3 einen Wendepunkt. Bestimme die
Funktionsgleichung.

Vielen lieben dank

Eure Sabine

Answer 1

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$

geht durch den Punkt P(1/-1)

$$ f(1)=-1 $$

hat im Ursprung eine waagerechte Tangente

$$ f(0)=0 ~~~;~~~f'(0)=0$$

und an der Stelle x=3 einen Wendepunkt.

$$ f''(3)=0$$

https://www.desmos.com/calculator/l0cubrz60e

 

Answer 2

Hallo Sabine,

die allgemeine Gleichung einer Funktion dritten Grades und ihre Ableitungen kann man so schreiben:

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)=3ax^2+2bx+c\\f''(x)=6ax+2b$$

...hat im Ursprung eine waagerechte Tangente

P (0|0) → f(0) = 0 ⇒ d = 0

waagerechte Tangente = Extremstelle: f'(0) = 0 ⇒ c = 0

Es bleiben also noch:

$$f(x)=ax^3+bx^2\\ f'(x)=3ax^2+2bx\\ f''(x)=6ax+2b$$

P (1|-1) → f(1) = -1 ⇒ a + b = -1

der Stelle x=3 einen Wendepunkt

f''(3) = 0 ⇒ 18a + 2b = 0

Jetzt hast du noch ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, das du mit einem Verfahren deiner Wahl lösen kannst. (Zur Kontrolle: a = \( \frac{1}{8} \) , b = -\( \frac{9}{8} \) )

Gruß, Silvia

Comments

P (1|-1) → f(1) = -1 ⇒ a + b = -1

Vor dem a darf kein Minus stehen, da x=1 ist.

Mit 18a+2b=0 bzw. 9a+b=0 folgt 8a=1, also a=0,125 und b=-1,125.

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Danke, Monty, ich ändere das.

Answer 3

Das ist eine Steckbriefaufgabe (Rekonstruktion,Modellierungsaufgabe)

Eine Steckbriefaufgabe führt immer zu einem linearen Gleichungssystem (LGS),was dann gelöst werden muß.

Für jede unbekannte braucht man eine Gleichung,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar.

f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*ao  mit P(0/0) ergibt  ao=0 Graph geht durch den Ursprung abgeleitet

f´(x)=0=3*a3*x²+2*a2*x+a1   mit P(0/0)  f´(0)=m=0  waagerechte Tangente a1=0

f´´(x)=0=6*a3*x+2*a2

1) f(1)=-1=a3*1³+a2*1²  aus P(1/-1)

2) f´´(3)=0=6*a3*3+2*a2  aus Wendepunkt xw=3

Dieses LGS mit den Unbekannten,a3 und a2 ,schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht,wegen der Übersichtlichkeit.

1) 1*a3+1*a2=-1  aus P(1/-1)

2) 18*a3+2*a2=0  aus dem Wendepunkt xw=3

Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) a3=1/8  und a2=-1 1/8

y=f(x)=1/8*x³-1 1/8*x²

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