Mittelwert von diskreten Ereignissen?

Question

Hey alle zusammen, ich hoffe ihr könnt mir helfen! Ich bearbeite gerade eine Aufgabe in Quantenmechanik und habe stark das Gefühl, dass ich zu kompliziert denke. Es geht um eine Aufgabe, in der man den Mittelwert und die Standardabweichung berechnet. Hier die exakte Aufgabenstellung:

Ein Schütze erzielt mit verbundenen Augen die Ringe \( r_{1}=0, r_{2}=4, r_{3}=7, r_{4}= \)
9 und \( r_{5}=10 \) mit gleichen Wahrscheinlichkeiten. Berechnen Sie den Mittelwert
\( \langle r\rangle \) sowie die Standardabweichung \( \Delta r=\sqrt{\left\langle(r-\langle r\rangle)^{2}\right\rangle} . \) Zeigen Sie allgemein, dass
$$ \left\langle(r-\langle r\rangle)^{2}\right\rangle=\left\langle r^{2}\right\rangle-\langle r\rangle^{2} $$
gilt. Wenn der Schütze sehen kann, trifft er dreimal häufiger 10 Ringe als 0 Ringe,
die restlichen Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich. Wie groß sind nun der Mittel-
wert und die Standardabweichung?

Ich habe einfach angenommen, dass man den arithmetischen Mittelwert benutzt, also die Formeln mit dem Summenzeichen. Bekomme für M=6 raus und für delta s = 0,35.

Allerdings habe ich auch die Mittelwertberechnung über Integration kennengelernt, nur benutzt man soweit ich weiß nur Funktionen? Hab sonst keinen Plan wie man das berechnet, weil eine Funktion und ein Intervall ist hier nicht gegeben :( Es verunsichert mich auch, dass die (einfache) Umformung von der Standardabweichung gefragt wird, die ich eigentlich nur aus der statistischen Mechanik kenne Denke ich zu kompliziert? Bin dankbar für jede Hilfe!!

Answer 1

Aloha :)

Mein Physik-Studium ist zwar schon etwas her, aber ich erinnere mich daran, dass es sehr wichtig war, die Mittelwertbildung als lineare Funktion aufzufassen. Daher sollst du die Formel für die Varianz vermutlich allein auf Basis der Linearität des Mittelwertes zeigen:

$$\left<(r-\langle r\rangle)^2\right>=\left<r^2-2r\langle r\rangle+\langle r\rangle^2\right>=\langle r^2\rangle-2\langle r\langle r\rangle\rangle+\left<\langle r\rangle^2\right>$$$$\quad=\langle r^2\rangle-2\langle r\rangle\langle r\rangle+\langle r\rangle^2=\langle r^2\rangle-2\langle r\rangle^2+\langle r\rangle^2=\langle r^2\rangle-\langle r\rangle^2$$

Answer 2

Hallo,

im ersten Fall ist \( \Omega = \{ 0, 4, 7, 9, 10 \} \) mit \( P(\omega) = \frac{1}{|\Omega|} = \frac{1}{5} \) für \( \omega \in \Omega \).

Im zweiten Fall ist \( P(4) = P(7) = P(9) \) und \( P(10) = 3 P(0) \). Wir nehmen an, dass die Aufgabenstellung so gemeint ist, dass \( P(4) = P(7) = P(9) = \frac{1}{5} \) ist. Dann ist \( P(10) = \frac{3}{10} \) und \( P(0) = \frac{1}{10} \).

Im ersten Fall ist \( \langle r \rangle = 6 \) und \( \langle r^2 \rangle = \frac{246}{5} = 49.2 \). Schließlich ergibt sich \( \Delta s = \sqrt{49.2 - 36} \approx 3.63 \).

Im zweiten Fall ist \( \langle r \rangle = 7 \) und \( \langle r^2 \rangle = \frac{296}{5} = 59.2 \). Hier ergibt sich \( \Delta s = \sqrt{59.2 - 49} \approx 3.19 \).

Die allgemeine Formel zeigt sich so:

\( \langle (r - \langle r \rangle)^2 \rangle = \langle r^2 - 2 r \langle r \rangle + \langle r \rangle^2 \rangle = \langle r^2 \rangle - \langle r \rangle^2 \).

Grüße

Mister