Abschätzung | e - ∑nk=0 (1/k!) | ≤ (1/n!n) zeigen und eulersche Zahl berechnen

Question

Wie zeige ich, dass die folgende Abschätzung gilt und wie berechnet man die Eulersche Zahl e auf 5 Dezimalstellen genau?

| e - ∑ⁿ_k=0 (1/k!) | ≤ (1/n!n)

Comments

Wie habt ihr e definiert?

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e:=e¹ =∑^unendlich _{k=0 (1/k!)}

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Vom Duplikat:

Titel: Ungleichung zeigen Eulersche Zahl Analysis

Stichworte: eulersche-zahl,ungleichungen,beweis

Hey

a)Zu zeigen ist diese Ungleichung: |e-s_n|≤ \( \frac{1}{n*n!} \) (n∈ℕ) mit Hilfe einer geometrischen Reihe. Bin sehr dankbar für Lösungsvorschläge

b)Außerdem soll mit diesem Ergebnis eine Zahl N∈ℕ bestimmt werden, für die |e-s_N| ≤0,5* 10^-4 gilt, und der Wert von sN soll angegeben werden,

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Sollte nicht auch S_n angegeben werden?

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steht nicht da

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Gibt es einen Zusammenhang zu deiner Frage https://www.mathelounge.de/679350/berechnung-reihe-summenzeichen ?

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Eine fast identische Frage gab es schon mal hier: https://www.mathelounge.de/71607/abschatzung-e-nk-0-1-k-zeigen-und-eulersche-zahl-berechnen.

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Interessanterweise sogar mit der fehlenden Angabe im Kommentar und dann mit einer Antwort.

Danke für den Link. Damals wurde die Frage am 8. Dezember gestellt, nun am 10. Dezember. D.h. (fast) alle Jahre wieder.

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Sollte das 2013 auch 1/(n!n) bedeuten?

Answer 1

Es ist $$ k!\geq n! (n+1)^{k-n} \text{ für } k>n$$

Damit ist

$$\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k!}\leq \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{n!}(n+1)^{n-k}=\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^\infty (\frac{1}{n+1})^k=\frac{1}{n!} \frac{\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}$$

die letzte Gleichung folgt mit der geometrischen Summernformel.

Damit erhält man die gesuchte Ungleichung.

Ist die rechte Seite dann kleiner als 10^-5 so hat man e auf mindestens 5 Stellen genau berechnet.

Comments

Danke

Wieso ist da denn kein e mehr und wo ist "<="?

und ich verstehe nicht wie man das mit der summenformel machen muss

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Die erste Summe ist e - ∑nk=0 (1/k! ), daher kein e mehr.

Eine Implikation war da nie dabei.

Und die geom. Summenformel ist schlichtes Einsetzen in  die Formel.

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Hmm muss ich dann eine 1 da einsetzen?

was in welche Formel?