Zweifache integration durch substitution

Question

Hi,

ich weiß, dass ich bei der Integration durch Substitution die Integartionsgrenzen anpassen muss.

Aber wie sieht es aus, wenn ich doppelt substituieren möchte? Ich habe z.B. die Integrationsgrenzen 0 und Pi gehabt, dann mit x/2 substituiert und dementsprechend zu 0 und Pi/2 gemacht. Danach habe ich nochmal mit sin(u) substituiert und 0 und 1 daraus gemacht. Allerdings stimmt mein Ergebnis nicht, obwohl mit meiner Stammfunktion alles in Ordnung ist, die habe ich nacheinander rücksubstituiert was auch, laut dem Integralrechner, stimmt.

Die Grenzen können aber leider nicht stimmen und ich kann das auch leider nicht mit dem Integralrechner überprüfen (weil der numerisch vorgegangen ist, um das bestimmte Integral zu berechnen).

Wisst ihr vielleicht, was ich falsch gemacht habe und wie es richtig funktioniert?

\( \int \limits_{0}^{\pi} \sin \left(\frac{x}{2}\right) \sqrt{1+\cos (x)} d x \)

 

Answer 1

Aloha :)

$$I:=\int\limits_0^\pi\sin\left(\frac{x}{2}\right)\sqrt{1+\cos x}\,dx$$Ich veruche mal deine Substituionen nachzuvollziehen.

$$u:=\frac{x}{2}\quad;\quad\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}\quad;\quad u(0)=0\quad;\quad u(\pi)=\frac{\pi}{2}$$$$I=\int\limits_0^{\pi/2}\sin u\cdot\sqrt{1+\cos(2u)}\,2du=2\int\limits_0^{\pi/2}\sin u\cdot\sqrt{1+\cos^2u-\sin^2u}\,du$$$$\phantom{I}=2\int\limits_0^{\pi/2}\sin u\cdot\sqrt{2\cos^2u}\,du=2\sqrt2\int\limits_0^{\pi/2}\sin u\,\cos u\,du$$Wegen \(\int f'(x)\cdot f(x)\,dx=\frac{1}{2}f^2(x)\) wärst du jetzt eigentlich schon fertig.

Die nächste Substitution war:$$z:=\sin u\quad;\quad\frac{dz}{du}=\cos u\quad;\quad z(0)=0\quad;\quad z\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$$$$I=2\sqrt2\int\limits_0^1z\cos u\,\frac{dz}{\cos u}=2\sqrt2\int\limits_0^1z\,dz=2\sqrt2\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^1=\sqrt2$$