Beweis hausdorffsch und beweis einer abgeschlossener Menge

Question

Sei (X, d) ein metrischer Raum.

(a) Zeigen Sie, dass X Hausdorffsch ist.

(b) Sei (X, d') ein weiterer metrischer Raum und sein f, g: Y → X stetige Abbildungen. 
Zeigen Sie, dass die Menge { y ∈ Y | f(y) = g(y)} abgeschlossen ist (und somit { y∈Y | f(y) ≠ g(y)} offen ist).

Comments

Hallo,

die erste Frage kannst Du selbst beantworten: Zeichne Dir 2 verschiedene Punkte auf eine Koordinatenebene und die zughörige Verbindungsstrecke. Jetzt über lege, wie Du um jeden der beiden Punkte einen Kreis legen kannst, so dass diese Kreise richtig disjunkt sind. Dann überlege, wie Du das auf allgemeine metrische Räume übertragen kannst.

Bei b) solltest Du erläutern, was Y ist.

Gruß

Answer 1

(a) Seien \(a\neq b\in X\), dann gilt \(\varepsilon := d(a,b)>0\). Es ist durch die Dreiecksungleichung klar, dass kein Punkt in beiden Mengen \(B_{0.5\cdot\varepsilon}(a)\) und \(B_{0.5\cdot\varepsilon}(b)\) liegen kann, das sind also bereits zwei offene disjunkte Mengen, die \(a\) und \(b\) trennen.

(b) Für jeden Hausdorff-raum \(X\) ist die "Diagonale" \(\Delta X := \{(x,x)|x\in X\}\) abgeschlossen als Teilmenge von \(X\times X\) (das ist eine einfache Übung). Definiere \((f,g):X\to Y\times Y\) durch \((f,g)(x) = (f(x),g(x))\). Dann ist deine Menge einfach nur \((f,g)^{-1}(\Delta Y)\), das Urbild einer abgeschlossenen Menge, damit abgeschlossen. (Ich habe hier die Rollen von X und Y vertauscht für bessere Lesbarkeit).