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Question

Jedes Polynom 3ten Grades hat mindestens eine Nullstelle im R

( Ich denke dass die aussage falsch ist, weil eine funkion 3. Grades genau 3 nullstellen hat, oder?)

Für Polynome p: R -> R nten Grades und affin lineare bijektive Funktionen k: R -> R gilt stets, dass p ○k ( dieser kreis soll ein kreis für die verkettung sein) ebenfalls ein polynom nten Grades ist.

Für diese aufgabe hab ich gar keine ahnung

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Answer 1

Jedes Polynom 3ten Grades hat mindestens eine Nullstelle im R

( Ich denke dass die aussage falsch ist, weil eine funkion 3. Grades genau 3 nullstellen hat, oder?)

Nein, ist wahr. Sie hat höchstens 3 Nullstellen, aber immer mindestens eine, da die Grenzwerte für

x gegen + und - minus unendlich ja beide vom Betrag unendlich sind, aber eben einer mit plus und einer mit minus.

Für Polynome p: R -> R nten Grades und affin lineare bijektive Funktionen k: R -> R gilt stets, dass p ○k ( dieser kreis soll ein kreis für die verkettung sein) ebenfalls ein polynom nten Grades ist.

Ja das stimmt, wenn du bei einem Polynom 3. Grades sowas einsetzt wie a*x+b

(mit a ≠0 wegen bijektiv) dann ist das Ergebnis wieder 3. Grades.

Answer 2

Du hast hier ein Polynom und keine Funktion. Du hast keine Grenzwerte, ebenso hast Du keine "affin lineare bijektive Funktionen" oder anderen Mist.

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass irreduzible Polynome in R maximal vom Grad 2,. in C maximal (= genau) vom Grad 1 sind.

Du kannst also ein Polynom im Grad 3 immer zerlegen in ein Polynom vom Grad 2 und eines vom Grad 1; eventuell lässt sich das vom Grad 2 nochmals zerlegen in zwei vom Grad 1.

Du hast also in R 1 oder 3 Nullstellen.